Prognose von Zielwerten

• In (28) ist ein zufälliges Intervall gegeben, in dem
  • der (unbekannte) Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}Y_0=\alpha+\beta x_0$ der Zufallsvariable $Y_0=\alpha+\beta x_0+\varepsilon _0$ mit der (vorgegebenen) Wahrscheinlichkeit $\gamma$ liegt, wobei
  • die Störgröße $\varepsilon _0$ normalverteilt und unabhängig von den Störgrößen $\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n$ ist; $\varepsilon _0\sim$ N $(0,\sigma^2)$.
• Wir bestimmen nun ein zufälliges Intervall, in dem nicht der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}Y_0$, sondern die Zielgröße $Y_0$ selbst mit der Wahrscheinlichkeit $\gamma$ liegt.
  • Dabei seien $L,U:\Omega\to\mathbb{R}$ zwei Zufallsvariablen, so dass $\mathbb{P}(L\le U)=1$ und $\mathbb{P}(L<Y_0<U)\ge\gamma$ gilt.
  • Das zufällige Intervall $(L,U)$ wird dann Prognoseintervall für die Zielvariable $Y_0$ zum Niveau $\gamma$ genannt.
• Man kann zeigen, dass mit Wahrscheinlichkeit $\gamma$

  $$\widehat\alpha+\widehat\beta x_0-\tau^\prime<Y_0<\widehat\alpha+\widehat\beta x_0+ \tau^\prime$$ (29)

  
  
  gilt, wobei
  $$\tau^\prime={\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}S\sqrt{1\,+\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}\;.$$

• Beispiel 
  • Aus den in Abschnitt 2.4.4 betrachteten Daten über die Merkmale ,,Geburtsgewicht'' von Säuglingen sowie deren ,,Gewichtszunahme'' zwischen dem 70. und 100. Tag ergibt sich, dass
    $$S\sqrt{1\,+\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_0-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}=590.7\,.$$

  • Aus (29) ergibt sich somit das folgende Prognoseintervall zum Niveau $\gamma=0.95$ für die Gewichtszunahme $Y_0=\alpha+\beta\cdot 2700+\varepsilon _0$ bei dem (angenommenen) Geburtsgewicht von $x_0=2700$:
    $$(2552\mp 2.10\cdot 590.7)=(1312,\, 3792)\,.$$