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Grundbegriffe

Stochastische Prozesse sind Familien $ \{X_t,\, t\in I\}$ von Zufallsvariablen $ X_t:\Omega\to E$, die über einunddemselben Wahrscheinlichkeitsraum $ (\Omega,\mathcal{F},P)$ definiert sind, wobei $ (\Omega,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum sein kann, der oft nicht näher spezifiziert wird.

Die Indexmenge $ I$ kann eine beliebige Menge sein. Der Bildraum $ E$ der Zufallsvariablen $ X_t$ kann ebenfalls eine beliebige Menge sein, die lediglich mit einer $ \sigma$-Algebra $ \mathcal{B}(E)$ von Teilmengen von $ E$ versehen ist, d.h., im allgemeinen ist $ (E,\mathcal{B}(E))$ ein beliebiger Messraum, der sogenannte Zustandsraum des stochastischen Prozesses $ \{X_t\}$.

Man sagt dann, dass $ \{X_t\}$ ein stochastischer Prozess in $ I$ mit Werten in $ (E,\mathcal{B}(E))$ ist. Dabei unterscheidet man verschiedene Arten von Indexmengen $ I$.

Wenn $ I\subset\mathbb{R}$ gilt, dann wird für jedes $ \omega\in\Omega$ die Funktion $ \{X_t(\omega),\,t\in I\}$ eine Trajektorie bzw. ein Pfad des stochastischen Prozesses $ \{X_t\}$ genannt.

Im ersten Teil der Vorlesung werden wir vorwiegend stochastische Prozesse mit $ I\subset[0,\infty)$ und $ E\subset\mathbb{R}$ betrachten.


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Ursa Pantle 2005-07-13