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Erneuerungsfunktion
- Definition
-
Die Funktion
, wobei
die erwartete Anzahl von Erneuerungszeitpunkten im Intervall
bezeichnet, wird Erneuerungsfunktion von
genannt. Aus (1) ergibt sich, dass
|
(10) |
wobei
die Verteilungsfunktion der
Zwischenankunftszeiten und die -te
Faltungspotenz von bezeichnet. Dabei gilt
und
mit
und
, d.h.,
für und
für .
- Beachte
-
- Es ist klar, dass die Erneuerungsfunktion
monoton wachsend ist. Außerdem ist es
nicht schwierig zu zeigen, dass
für jedes
gilt.
- Allerdings ist es nur in wenigen Spezialfällen möglich, einfache
geschlossene Formeln für die Erneuerungsfunktion herzuleiten.
Die Laplace-Stieltjes-Transformierte
von lässt sich jedoch immer
durch die Laplace-Stieltjes-Transformierte von ausdrücken.
- Beweis
-
Aus (10) ergibt sich, dass
wobei die geometrische Reihe
konvergiert, weil
für jedes gilt.
Aus Theorem 2.1 ergibt sich die Vermutung, dass die
Erneuerungsfunktion
ein ähnliches asymptotisches
lineares Verhalten hat, wie es in (2) für den
Erneuerungsprozess gezeigt wurde. Um dies zu zeigen,
benötigen wir den folgenden Hilfssatz, der in der Literatur die
Waldsche Identität für Erneuerungsprozesse genannt wird.
Lemma 2.1
Sei
ein beliebige Borel-messbare
Funktion. Dann gilt für jedes
|
(12) |
- Beweis
-
Wir sind nun in der Lage, das folgende Theorem zu beweisen, das in
der Literatur der elementare Erneuerungssatz genannt wird.
- Beweis
-
Außer der in Theorem 2.4 hergeleiteten
asymptotischen Linearität lässt sich noch eine wesentliche
schärfere Aussage über das asymptotische Verhalten der
Erneuerungsfunktion für
herleiten.
Der folgende Grenzwertsatz wird in der Literatur Erneuerungssatz von Blackwell bzw. Haupterneuerungssatz.
genannt. Er besagt, dass sich das Erneuerungsmaß
mit
asymptotisch genauso wie das Lebesgue-Maß verhält.
Theorem 2.5
Sei
, und die Verteilungsfunktion
sei nicht
gitterförmig, d.h., die Wachstumspunkte von
liegen nicht auf
einem regelmäßigen Gitter. Dann gilt
|
(16) |
Der Beweis von Theorem 2.5 geht über den
Rahmen dieser Vorlesung hinaus und wird deshalb weggelassen. Er
kann beispielsweise in Kallenberg (2001), S. 172-174 nachgelesen
werden .
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Jonas Rumpf
2006-07-27