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Erneuerungsfunktion

Definition
$ \;$ Die Funktion $ H:[0,\infty)\to[0,\infty)$, wobei $ H(t)={\mathbb{E} }N_t$ die erwartete Anzahl von Erneuerungszeitpunkten im Intervall $ [0,t]$ bezeichnet, wird Erneuerungsfunktion von $ \{N_t\}$ genannt. Aus (1) ergibt sich, dass

$\displaystyle H(t)={\mathbb{E} }\sum_{n=1}^\infty{1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_n\l...
... {\mathbb{E} }{1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_n\le t)=\sum_{n=1}^\infty F^{*n}(t) ,$ (10)

wobei $ F:[0,\infty)\to[0,1]$ die Verteilungsfunktion der Zwischenankunftszeiten $ T_n$ und $ F^{*n}$ die $ n$-te Faltungspotenz von $ F$ bezeichnet. Dabei gilt $ F^{*n}=F^{*(n-1)}*F$ und $ (G*F)(t)=\int_{-\infty}^t G(t-s)\,{\rm d}F(s)$ mit $ F^{*1}(t)=F(t)$ und $ F^{*0}={1\hspace{-1mm}{\rm I}}([0,\infty))$, d.h., $ F^{*0}(t)=1$ für $ t\ge 0$ und $ F^{*0}(t)=0$ für $ t<0$.
Beachte
$ \;$
  1. Es ist klar, dass die Erneuerungsfunktion $ H:[0,\infty)\to[0,\infty)$ monoton wachsend ist. Außerdem ist es nicht schwierig zu zeigen, dass $ H(t)<\infty$ für jedes $ t\ge 0$ gilt.
  2. Allerdings ist es nur in wenigen Spezialfällen möglich, einfache geschlossene Formeln für die Erneuerungsfunktion $ H$ herzuleiten. Die Laplace-Stieltjes-Transformierte $ \hat{l}_H(s)=\int_0^\infty
{ \rm e}^{-sx} {\rm d}H(x)$ von $ H$ lässt sich jedoch immer durch die Laplace-Stieltjes-Transformierte von $ F$ ausdrücken.

Theorem 2.3   Für jedes $ s>0$ gilt

$\displaystyle \hat{l}_H(s)=\frac{\hat{l}_F(s)}{1-\hat{l}_F(s)}  .$ (11)

Beweis
$ \;$ Aus (10) ergibt sich, dass

$\displaystyle \displaystyle
\hat{l}_H(s)=\int_0^\infty { \rm e}^{-sx}  {\rm d...
...=\sum_{n=1}^\infty ( \hat{l}_F(s))^n =
\frac{\hat{l}_F(s)}{1-\hat{l}_F(s)}  ,
$

wobei die geometrische Reihe $ \sum_{n=1}^\infty ( \hat{l}_F(s))^n$ konvergiert, weil $ \hat{l}_F(s)<1$ für jedes $ s>0$ gilt.

$ \Box$

Aus Theorem 2.1 ergibt sich die Vermutung, dass die Erneuerungsfunktion $ H(t)={\mathbb{E} }N_t$ ein ähnliches asymptotisches lineares Verhalten hat, wie es in (2) für den Erneuerungsprozess $ \{N_t\}$ gezeigt wurde. Um dies zu zeigen, benötigen wir den folgenden Hilfssatz, der in der Literatur die Waldsche Identität für Erneuerungsprozesse genannt wird.

Lemma 2.1   Sei $ g:[0,\infty)\to[0,\infty)$ ein beliebige Borel-messbare Funktion. Dann gilt für jedes $ t\geq 0$

$\displaystyle {\mathbb{E} }\Bigl(\sum_{i=1}^{N_t+1}g(T_{i})\Bigr) = {\mathbb{E} }g(T_1)({\mathbb{E} } N_t+1) .$ (12)

Beweis
$ \;$

Wir sind nun in der Lage, das folgende Theorem zu beweisen, das in der Literatur der elementare Erneuerungssatz genannt wird.

Theorem 2.4   Sei $ 0<\mu<\infty$. Dann gilt

$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{H(t)}{t}= \frac{1}{\mu}\;.$ (13)

Beweis
$ \;$

Außer der in Theorem 2.4 hergeleiteten asymptotischen Linearität lässt sich noch eine wesentliche schärfere Aussage über das asymptotische Verhalten der Erneuerungsfunktion $ H(t)$ für $ t\to\infty$ herleiten.

Der folgende Grenzwertsatz wird in der Literatur Erneuerungssatz von Blackwell bzw. Haupterneuerungssatz. genannt. Er besagt, dass sich das Erneuerungsmaß $ H:\mathcal{B}([0,\infty))\to[0,\infty]$ mit

$\displaystyle H(B)=\sum_{n=0}^\infty \int_B  {\rm d} F^{*n}(x) ,\qquad B\in
\mathcal{B}([0,\infty))
$

asymptotisch genauso wie das Lebesgue-Maß verhält.

Theorem 2.5   Sei $ 0<\mu<\infty$, und die Verteilungsfunktion $ F$ sei nicht gitterförmig, d.h., die Wachstumspunkte von $ F$ liegen nicht auf einem regelmäßigen Gitter. Dann gilt

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(H((-\infty,x])-H((-\infty,x-y])\right)= \frac{y}{\mu}\qquad\forall\, y\ge 0\,.$ (16)

Der Beweis von Theorem 2.5 geht über den Rahmen dieser Vorlesung hinaus und wird deshalb weggelassen. Er kann beispielsweise in Kallenberg (2001), S. 172-174 nachgelesen werden .


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Jonas Rumpf 2006-07-27