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Weitere Verteilungs- und Pfadeigenschaften

Wir zeigen nun einige Invarianzeigenschaften des Wiener-Prozesses in $ [0,\infty)$, womit die Tatsache gemeint ist, dass bestimmte Transformationen des Wiener-Prozesses erneut zu einem Wiener-Prozess führen. In Abb. 12 wird beispielsweise die in (32) betrachtete Invarianz des Wiener-Prozesses gegenüber Verschiebungen des Nullpunktes illustriert.


Abbildung 12: Verschiebungsinvarianz von Wiener-Prozessen
[width=8cm]Bilder/Invarianzeigenschaft.eps


Theorem 2.23    

Beweis
 

Beachte
$ \;$ Die Gültigkeit von (35) kann auch direkt aus Korollar 2.4 gefolgert werden, denn es gilt

$\displaystyle \lim_{t\downarrow 0} Y_t^{(4)}=\lim_{t\downarrow 0}
t X_{1/t}=\lim_{t\to\infty} \frac{X_t}{t}=0 .
$

Korollar 2.5   $ \;$ Sei $ \{X_t, \ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann gilt

$\displaystyle P\bigl(\sup_{t\ge 0}X_t=\infty\bigr)=P\bigl(\inf_{t\ge 0}X_t=-\infty\bigr)=1 .$ (36)

Beweis
 

Beachte
 

Abbildung 13: Approximation der Realisierungen von Wiener-Prozessen
[width=7cm]Bilder/WienerRealisierung2.eps[width=7cm]Bilder/WienerRealisierung1.eps

Theorem 2.24   $ \;$ Sei $ \{X_t, \ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann gilt

$\displaystyle P(\omega\in\Omega:  X_{\bf\cdot}(\omega)\;$$\displaystyle \mbox{ist nirgendwo differenzierbar in $[0,\infty)$}$$\displaystyle  )=1 .
$ (38)

Beweis
 

Korollar 2.6   $ \;$ Mit Wahrscheinlichkeit $ 1$ gilt

$\displaystyle P\bigl(\sup_{n\ge 1}\; \sup_{0\le t_0<\ldots<t_n\le 1 }\;\sum_{i=1}^n\vert X_{t_i}-X_{t_{i-1}}\vert=\infty\bigr)=1 ,$ (41)

d.h., fast alle Trajektorien des Wiener-Prozesses $ \{X_t, t\in [0,1]\}$ sind Funktionen mit unbeschränkter Variation.

Beweis
$ \;$ Weil jede stetige Funktion $ g:[0,1]\to\mathbb{R}$ mit beschränkter Variation fast überall differenzierbar ist, ergibt sich die Behauptung unmittelbar aus Theorem 2.24.

$ \Box$


Beachte
 


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Jonas Rumpf 2006-07-27