Lévy-Chintschin-Darstellung

In diesem Abschnitt zeigen wir, dass für jeden Lévy-Prozess $\{X_t\}$ und für jedes $t\ge 0$ die charakteristische Funktion der unbegrenzt teilbaren Zufallsvariablen $X_t$ durch die Lévy-Chintschin-Formel (5) dargestellt werden kann.

Dabei zeigen wir zunächst, dass die charakteristische Funktion von $X_t$ auf einfache Weise durch die charakteristische Funktion von $X_1$ ausgedrückt werden kann. Hierfür benötigen wir den folgenden Hilfssatz.

Lemma 3.3   $\;$ Sei $\{X_t, t\ge 0\}$ ein stochastisch stetiger Prozess, d.h. für beliebige $x>0$ und $t_0\ge 0$ gelte

$$\lim_{t\to t_0} P(\vert X_t-X_{t_0}\vert>x)=0 .$$

Dann ist für jedes $s\in\mathbb{R}$ durch $t\to\varphi_{X_t}(s)$ eine stetige Abbildung von $[0,\infty)$ nach $\mathbb{C}$ gegeben.

Beweis

 

• Für jedes $s\in\mathbb{R}$ ist die Abbildung $y\to{\rm e}^{{\rm i}sy}$ offenbar stetig im Punkt $y=0$, d.h., für jedes $\varepsilon>0$ gibt es ein $\delta_1>0$, so dass
  $$\sup_{y\in(-\delta_1,\delta_1)}\vert{\rm e}^{{\rm i}sy}-1\vert<\;\frac{\varepsilon}{2}\;.$$

• Weil $\{X_t\}$ stochastisch stetig ist, gibt es außerdem ein $\delta_2>0$, so dass für jedes $t_0\ge 0$
  $$\sup_{t\ge 0, \vert t-t_0\vert<\delta_2}P(\vert X_t-X_{t_0}\vert>\delta_1) <\;\frac{\varepsilon}{4} \;.$$

• Hieraus ergibt sich, dass für beliebige $s\in\mathbb{R}$ und $t\ge 0$ mit $\vert t-t_0\vert<\delta_2$
  

  $$\vert\varphi_{X_t}(s)-\varphi_{X_{t_0}}(s)\vert = \Bigl\vert\int_\Omega {\rm e}^{{\rm i}sX_{t_0}(\omega)}\bigl( {\rm e}^{{\rm i}s(X_t-X_{t_0})(\omega)}-1\bigr) P({\rm d}\omega)\Bigr\vert$$

  $$\le \int_\mathbb{R}\bigl\vert{\rm e}^{{\rm i}sy}-1\bigr\vert P_{X_t-X_{t_0}}({\rm d}y)$$

  $$= \int_{(-\delta_1,\delta_1)}\bigl\vert{\rm e}^{{\rm i}sy}-1\bigr\v... ...delta_1)^c}\bigl\vert{\rm e}^{{\rm i}sy}-1\bigr\vert P_{X_t-X_{t_0}}({\rm d}y)$$

  $$\le \sup_{y\in(-\delta_1,\delta_1)}\vert{\rm e}^{{\rm i}sy}-1\vert+2 P(\vert X_t-X_{t_0}\vert>\delta_1)$$

  $$\le \varepsilon .$$

  
  

• Damit ist die Behauptung bewiesen.
  
  $\Box$

Theorem 3.3   $\;$ Sei $\{X_t, t\ge 0\}$ ein Lévy-Prozess. Dann ist für jedes $t\ge 0$ die charakteristische Funktion $\varphi_{X_t}$ von $X_t$ gegeben durch

$$\varphi_{X_t}(s)={\rm e}^{t \eta(s)}\qquad\forall s\in\mathbb{R} ,$$ (9)

wobei $\eta:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ eine stetige Funktion ist. Insbesondere gilt somit $\varphi_{X_t}(s)=(\varphi_{X_1}(s))^t$ für beliebige $s\in\mathbb{R}$, $t\ge 0$.

Beweis

 

• Weil $\{X_t\}$ unabhängige und stationäre Zuwächse hat, gilt für beliebige $s\in\mathbb{R}$ und $t,t^\prime\ge 0$
  $$\varphi_{X_{t+t^\prime}}(s) = {\mathbb{E} }{\rm e}^{{\rm i}sX_{t... ...}{\rm e}^{{\rm i}sX_{t^\prime}} = \varphi_{X_t}(s)\varphi_{X_{t^\prime}}(s) .$$

• Für jedes $s\in\mathbb{R}$ gilt also für die Funktion $g_s:[0,\infty)\to\mathbb{C}$ mit $g_s(t)=\varphi_{X_t}(s)$, dass

  $$g_s(t+t^\prime)= g_s(t)g_s(t^\prime)\qquad\forall t,t^\prime\ge 0 .$$ (10)

  
  

• Weil $X_0=0$, gilt außerdem für jedes $s\in\mathbb{R}$

  $$g_s(0)=1 ,$$ (11)

  
  
  und in Lemma 3.3 hatten wir gezeigt, dass die Funktion $g_s:[0,\infty)\to\mathbb{C}$ für jedes $s\in\mathbb{R}$ stetig ist.
• Man kann sich leicht überlegen, dass es für jede Familie von stetigen Funktionen $g_s:[0,\infty)\to\mathbb{C}$, die den Bedingungen (10) und (11) genügen, eine Funktion $\eta:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ gibt, so dass

  $$g_s(t)={\rm e}^{t \eta(s)}\qquad\forall s\in\mathbb{R}, t\ge 0 .$$ (12)

  
  

• Es genügt nun, $t=1$ zu setzen, um zu erkennen, dass $\varphi_{X_1}(s)={\rm e}^{\eta(s)}$ für jedes $s\in\mathbb{R}$ gilt und dass somit $\eta:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ eine stetige Funktion ist.
  
  $\Box$

Wir zeigen nun, dass für jeden Lévy-Prozess $\{X_t\}$ die charakteristische Funktion von $X_1$ durch die Lévy-Chintschin-Formel (5) dargestellt werden kann. Hierfür benötigen wir den folgenden Hilfssatz zur Charakterisierung der relativen Kompaktheit von Familien (gleichmäßig beschränkter) endlicher Maße.

Lemma 3.4   $\;$ Sei $\mu_1,\mu_2,\ldots$ eine Folge von endlichen Maßen, die über der Borel-$\sigma$-Algebra $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ definiert sind. Falls $\sup_{n\ge 1}\mu_n(\mathbb{R})<c$ für ein $c<\infty$ und falls es für jedes $\varepsilon>0$ eine kompakte Menge $B_\varepsilon\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ gibt, so dass

$$\sup_{n\ge 1} \mu_n(B_\varepsilon^c)\le\varepsilon ,$$ (13)

dann gibt es eine Teilfolge $\mu_{n_1},\mu_{n_2},\ldots$ und ein endliches Maß $\mu$ über $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, so dass für jede stetige und beschränkte Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$

$$\lim_{k\to\infty}\int_\mathbb{R}f(y) \mu_{n_k}({\rm d}y)=\int_\mathbb{R}f(y) \mu({\rm d}y) .$$ (14)

Der Beweis von Lemma 3.4 geht über den Rahmen dieser Vorlesung hinaus und wird deshalb weggelassen; er kann beispielsweise im Buch von A.V. Skorokhod (2005), S. 122-123 nachgelesen werden.

Theorem 3.4   $\;$ Sei $\{X_t, t\ge 0\}$ ein Lévy-Prozess. Dann gibt es Konstanten $a\in\mathbb{R}$, $b\ge 0$ und ein Lévy-Maß $\nu$, so dass

$$\varphi_{X_1}(s)=\exp\Bigl({\rm i}as-\;\frac{bs^2}{2}\;+\int_\mat... ...\rm I}}_{(-1,1)}(y)\bigr) \nu({\rm d}y)\Bigr) \qquad\forall s\in\mathbb{R} .$$ (15)

Beweis

 

• Aus Theorem 3.3 ergibt sich, dass für jede Nullfolge $t_1,t_2,\ldots$ positiver Zahlen

  $$\eta(s)=\lim_{n\to \infty}\;\frac{{\rm e}^{t_n \eta(s)}-1}{t_n}=\lim_{n\to\infty }\;\frac{\varphi_{X_{t_n}}(s)-1}{t_n}\;.$$ (16)

  
  

• Weil $\eta:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ eine stetige Funktion ist, ergibt sich durch Taylor-Reihenentwicklung der Funktion ${\rm e}^{t \eta(s)}$ nach $t$, dass für jedes $s_0<\infty$ die Konvergenz in (16) gleichmäßig in $s\in[-s_0,s_0]$ erfolgt.
• Wir setzen nun $t_n=1/n$ und bezeichnen die Verteilung von $X_{1/n}$ mit $P_n$. Mit dieser Schreibweise gilt

  $$\lim_{n\to\infty} n\int_\mathbb{R}\bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1\bigr) P_n({\rm d}y)=\eta(s)$$ (17)

  
  
  gleichmäßig in $s\in[-s_0,s_0]$.
  • Wenn auf beiden Seiten dieser Gleichung über $s\in[-s_0,s_0]$ integriert wird,
  • dann ergibt sich aus dem Satz von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz (und nach Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf der linken Seite), dass für jedes $s_0<\infty$

    $$\lim_{n\to\infty} n\int_\mathbb{R}\Bigl(1-\;\frac{\sin(s_0y)}{s_0y}\Bigr) P_n({\rm d}y)=-\;\frac{1}{2s_0}\;\int_{-s_0}^{s_0}\eta(s) {\rm d}s .$$ (18)

    
    

• Weil $\eta:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ eine stetige Funktion ist mit $\eta(0)=0$, gibt es für jedes $\varepsilon>0$ ein $s_0>0$, so dass
  $$\bigl\vert\;\frac{1}{2s_0}\;\int_{-s_0}^{s_0}\eta(s) {\rm d}s\bigr\vert<\varepsilon .$$

• Weil außerdem $1-\sin(s_0y)/(s_0y)\ge 1/2$ für $\vert s_0y\vert\ge 2$, ergibt sich somit aus (18),
  • dass es für jedes $\varepsilon>0$ ein $s_0>0$ gibt, so dass
    $$\limsup_{n\to\infty} \;\frac{n}{2}\;\int_{\{y: \vert y\vert\ge 2/s_0\}} P_n({\rm d}y)\le \varepsilon ,$$

  • bzw. dass es für jedes $\varepsilon>0$ ein $s_0>0$ und ein $n_0>0$ gibt, so dass

    $$n \int_{\{y: \vert y\vert\ge 2/s_0\}} P_n({\rm d}y)\le 4 \varepsilon\qquad\forall n\ge n_0 .$$ (19)

    
    

• Wir verkleinern nun $s_0>0$ weiter (falls erforderlich), so dass die Ungleichung in (19) auch für jedes $n\in\{1,\ldots,n_0\}$ gilt.
• Insgesamt haben wir somit gezeigt, dass es für jedes $\varepsilon>0$ ein $s_0>0$ gibt, so dass

  $$\sup_{n\ge 1}\;n\int_{\{y: \vert y\vert\ge 2/s_0\}} P_n({\rm d}y)\le 4 \varepsilon .$$ (20)

  
  

• Weil es ein $c<\infty$ gibt, so dass
  $$\frac{y^2}{1+y^2} \;\le c \bigl(1-\;\frac{\sin y}{y} \bigr)\qquad\forall y\not=0 ,$$
  ergibt sich aus (18), dass es eine Konstante $c^\prime<\infty$ gibt, so dass

  $$\sup_{n\ge 1}\;n\int_\mathbb{R}\;\frac{y^2}{1+y^2} P_n({\rm d}y)\le c^\prime .$$ (21)

  
  

• Für jedes $n\ge 1$ sei das (endliche) Maß $\mu_n:\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,\infty)$ gegeben durch
  $$\mu_n(B)=n\int_B\;\frac{y^2}{1+y^2} P_n({\rm d}y)\qquad\forall B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) .$$
  • Wegen (21) sind die Maße $\{\mu_n, n\ge 1\}$ gleichmäßig beschränkt, und wegen
    $$\frac{y^2}{1+y^2} \;\le 1 \qquad\forall y\in\mathbb{R}$$
    ergibt sich aus (20), dass die Folge $\{\mu_n, n\ge 1\}$ relativ kompakt ist, d.h. der Bedingung (13) genügt.
  • Aus Lemma 3.4 folgt also, dass es eine Teilfolge $\mu_{n_1},\mu_{n_2},\ldots$ und ein endliches Maß $\mu$ über $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ gibt, so dass für jede stetige und beschränkte Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$

    $$\lim_{k\to\infty}\int_\mathbb{R}f(y) \mu_{n_k}({\rm d}y)=\int_\mathbb{R}f(y) \mu({\rm d}y) .$$ (22)

    
    

• Weil für jedes $s\in\mathbb{R}$ die Funktion $f_s:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ mit
  $$f_s(y)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle\bigl({\rm e}^{{\rm ... ... 0$,}\ \displaystyle - \;\frac{s^2}{2} & \mbox{für $y=0$} \end{array}\right.$$
  stetig und beschränkt ist, ergibt sich aus (17) und (22), dass
  

  $$\eta(s) = \lim_{n\to\infty} n\int_\mathbb{R}\bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1\big... ...{R}f_s(y) \mu_{n}({\rm d}y)+{\rm i}sn\int_\mathbb{R}\sin y P_n({\rm d}y)\Bigr)$$

  $$= \lim_{k\to\infty}\Bigl(\int_\mathbb{R}f_s(y) \mu_{n_k}({\rm d}y)+{\rm i}sn_k\int_\mathbb{R}\sin y P_{n_k}({\rm d}y)\Bigr)$$

  $$= \int_\mathbb{R}f_s(y) \mu({\rm d}y)+ {\rm i}s\lim_{k\to\infty} n_k\int_\mathbb{R}\sin y P_{n_k}({\rm d}y) ,$$

  
  
  wobei sich die Existenz und Endlichkeit des letzten Grenzwertes aus der Tatsache ergibt, das alle übrigen Grenzwerte in dieser Gleichungskette existieren und endlich sind.
• Hieraus folgt, dass

  $$\eta(s)={\rm i}a^\prime s -\;\frac{bs^2}{2}\;+\int_\mathbb{R}\;\b... ...m i}sy}-1-{\rm i} s\sin y\bigr) \nu({\rm d}y)\qquad\forall s\in\mathbb{R} ,$$ (23)

  
  
  wobei
  $$a^\prime= \lim_{k\to\infty} n_k\int_\mathbb{R}\sin y P_{n_k}({\rm d}y) ,\qquad b=\mu(\{0\})$$
  und das Lévy-Maß $\nu:\mathcal{B}(\mathbb{R})\to[0,\infty]$ gegeben ist durch
  $$\nu({\rm d}y)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{1+y^2}... ...box{für $y\not= 0$,}\ \displaystyle 0 & \mbox{für $y=0$.} \end{array}\right.$$

• Außerdem gilt
  $$\int_\mathbb{R}\vert y{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(-1,1)}(y)-\sin y\vert \nu({\rm d}y)<\infty ,$$
  weil es eine Konstante $c^{\prime\prime}<\infty$ gibt, so dass
  $$\vert y{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(-1,1)}(y)-\sin y\vert\;\frac{1+y^2}{y^2}\;<c^{\prime\prime}\qquad\forall y\not=0 .$$

• Aus (23) ergibt sich somit, dass
  $$\eta(s)={\rm i}as-\;\frac{bs^2}{2}\;+\int_\mathbb{R}\;\bigl({\rm ... ...1mm}{\rm I}}_{(-1,1)}(y)\bigr) \nu({\rm d}y)\qquad\forall s\in\mathbb{R} ,$$
  wobei $a=a^\prime+\int_\mathbb{R}\bigl(y{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{(-1,1)}(y)-\sin y\bigr) \nu({\rm d}y)$.
  
  $\Box$

Korollar 3.1   $\;$ Sei $\{X_t, t\ge 0\}$ ein Lévy-Prozess. Dann sind sämtliche endlich-dimensionalen Verteilungen von $\{X_t\}$ eindeutig durch die Lévy-Charakteristik $(a,b,\nu)$ von $X_1$ bestimmt.

Beweis

 

• Aus den Theoremen 3.3 und 3.4 ergibt sich zusammen mit dem Eindeutigkeitssatz für charakteristische Funktionen (vgl. Korollar WR-5.5), dass die Verteilung von $X_t$ für jedes $t\ge 0$ eindeutig durch die Lévy-Charakteristik $(a,b,\nu)$ von $X_1$ bestimmt ist.
• Weil $\{X_t\}$ unabhängige und stationäre Zuwächse hat, sind damit auch sämtliche endlich-dimensionalen Verteilungen von $\{X_t\}$ eindeutig durch die Lévy-Charakteristik von $X_1$ bestimmt.
  
  $\Box$