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Subordinatoren

Eine weitere Klasse von Lévy-Prozessen, die insbesondere die zusammengesetzten Poisson-Prozesse mit positiven Sprunghöhen als Spezialfall umfassen, sind die sogenannten Subordinatoren.

Definition
$ \;$ Ein Lévy-Prozess $ \{X_t, t\ge 0\}$ heißt Subordinator, wenn mit Wahrscheinlichkeit $ 1$

$\displaystyle X_{t_1}\le X_{t_2}$   $\displaystyle \mbox{$\forall  t_1,t_2\ge 0$ mit $t_1\le t_2$,}$ (30)

wobei sich aus (30) wegen $ X_0=0$ sofort ergibt, dass $ X_t\ge 0$ für jedes $ t\ge 0$.


Bevor wir einige konkrete Beispiele von Subordinatoren näher diskutieren, zeigen wir zunächst, wie sich die Lévy-Chintschin-Darstellung (15) von $ \varphi_{X_1}$ spezifizieren lässt, wenn $ \{X_t\}$ ein Subordinator ist.

Theorem 3.5   $ \;$ Der Lévy-Prozess $ \{X_t, t\ge 0\}$ ist genau dann ein Subordinator, wenn sich der Lévy-Exponent $ \eta(s)$ von $ X_1$ darstellen lässt in der Form

$\displaystyle \eta(s)={\rm i}as+\int_0^\infty \bigl({\rm e}^{{\rm i}sy}-1 \bigr) \nu({\rm d}y)\qquad\forall s\in\mathbb{R} ,$ (31)

wobei $ a\ge 0$ und für das Lévy-Maß $ \nu$ zusätzlich gilt, dass

$\displaystyle \nu((-\infty,0))=0$   und$\displaystyle \qquad\int_0^\infty\min\{y,1\} \nu({\rm d}y)<\infty .$ (32)

Beweis
$ \;$ Wir zeigen zuerst die Hinlänglichkeit der Bedingungen (31) und (32). Die Notwendigkeit der Bedingungen (31) und (32) kann man sich wie folgt überlegen.


Beachte
 

Außer den zusammengesetzten Poisson-Prozessen mit positiven Sprunghöhen, die wir bereits am Anfang dieses Abschnittes erwähnt haben und deren Lévy-Maß $ \nu$ endlich ist, gibt es noch weitere Klassen von Subordinatoren (mit unendlichem Lévy-Maß).

Beispiel
($ \alpha$-stabile Subordinatoren)$ \;$



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Jonas Rumpf 2006-07-27