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Submartingale und Supermartingale; Beispiele

Definition
$ \;$ Sei $ \{X_t, t\ge 0\}$ ein stochastischer Prozess über dem Wahrscheinlichkeitsraum $ (\Omega,\mathcal{F},P)$ mit der Filtration $ \{\mathcal{F}_t, t\ge 0\}$.


Beispiele
 
  1. $ \;$ Poisson-Prozess
    • Sei $ \{X_t, t\ge 0\}$ ein (homogener) Poisson-Prozess mit der Intensität $ \lambda>0$.
    • Dann kann man sich leicht überlegen, dass der stochastische Prozess $ \{Y_t, t\ge 0\}$ mit $ Y_t=X_t-t\lambda$ ein Martingal bezüglich der (natürlichen) Filtration $ \{\mathcal{F}_t^X, t\ge 0\}$ ist.
      • Aus der Unabhängigkeit und Stationarität der Zuwächse von $ \{X_t\}$ und aus den Teilaussagen 4 und 6 von Theorem 3.6 ergibt sich nämlich, dass
        $\displaystyle {\mathbb{E} }(X_t\mid\mathcal{F}^X_s)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\mathbb{E} }(X_s+(X_t-X_s)\mid\mathcal{F}^X_s)={\mathbb{E} }(X_s\mid\mathcal{F}^X_s)
+{\mathbb{E} }(X_t-X_s\mid\mathcal{F}^X_s)$  
          $\displaystyle =$ $\displaystyle X_s+{\mathbb{E} }(X_t-X_s)=X_s+(t-s)\lambda$  

        für beliebige $ s,t\ge 0$ mit $ s\le t$,
      • d.h.,

        $\displaystyle {\mathbb{E} }(X_t-t\lambda\mid\mathcal{F}^X_s)=X_s-s\lambda\qquad\forall  s\le
t .
$

    • Außerdem kann man zeigen, dass der stochastische Prozess $ \{Y^\prime_t ,t\ge 0\}$ mit $ Y^\prime_t=(X_t-t\lambda)^2-t\lambda$ ein Martingal ist.
      • Sei $ \widetilde X_t=X_t-t\lambda$.
      • Dann ergibt sich aus der Unabhängigkeit der Zuwächse von $ \{\widetilde X_t\}$ und aus den Eigenschaften der bedingten Erwartung (vgl. Theorem 3.6), dass für beliebige $ s,t\ge 0$ mit $ s\le t$
        $\displaystyle {\mathbb{E} }(Y^\prime_t\mid\mathcal{F}^X_s)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\mathbb{E} }(\widetilde X^2_t-t\lambda\mid\mathcal{F}^X_s)$  
          $\displaystyle =$ $\displaystyle {\mathbb{E} }\bigl(\bigl(\widetilde X_s+(\widetilde X_t-\widetilde X_s)\bigr)^2
-t\lambda\mid\mathcal{F}^X_s\bigr)$  
          $\displaystyle =$ $\displaystyle {\mathbb{E} }\bigl(\widetilde X_s^2+2\widetilde X_s(\widetilde X...
...tilde X_s)+(\widetilde X_t-\widetilde X_s)^2
-t\lambda\mid\mathcal{F}^X_s\bigr)$  
          $\displaystyle =$ $\displaystyle \widetilde X_s^2-s\lambda+2\widetilde X_s{\mathbb{E} }\bigl(\wid...
...bigr)+{\mathbb{E} }\bigl((\widetilde X_t-\widetilde X_s)^2\bigr)
-(t-s)\lambda$  
          $\displaystyle =$ $\displaystyle \widetilde X_s^2-s\lambda=Y^\prime_s ,$  

      • wobei in der vorletzten Gleichheit die Tatsache genutzt wurde, dass $ {\rm Var }(\widetilde X_t-\widetilde X_s)=(t-s)\lambda$.


  2. $ \;$ zusammengesetzte Poisson-Prozesse
    • Sei $ \{X_t, t\ge 0\}$ ein zusammengesetzter Poisson-Prozess mit den Charakteristiken $ (\lambda,P_U)$, wobei $ \lambda>0$ die Intensität der Sprungzeitpunkte und $ P_U$ die Verteilung der Sprunghöhen bezeichnet.
    • Wenn die zusätzliche Integrierbarkeitsbedingung $ {\mathbb{E} }\vert U\vert<\infty$ erfüllt ist, dann ist der stochastische Prozess $ \{Y_t, t\ge 0\}$ mit $ Y_t=X_t-t\lambda{\mathbb{E} }U$ ein Martingal.
    • Denn genauso wie in dem oben diskutierten Fall des (nicht zusammengesetzten) Poisson-Prozesses ergibt sich, dass

      $\displaystyle {\mathbb{E} }(X_t-t\lambda{\mathbb{E} }U\mid\mathcal{F}^X_s)=X_s-s\lambda{\mathbb{E} }
U\qquad\forall  s\le t .
$


  3. $ \;$ Wiener-Prozess
    • Sei $ \{X_t, t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann kann man auf die gleiche Weise wie bei den beiden vorhergehenden Beispielen zeigen, dass $ \{X_t\}$ ein Martingal bezüglich der natürlichen Filtration $ \{\mathcal{F}_t^X, t\ge 0\}$ dieses Prozesses ist.
    • Außerdem kann man zeigen, dass auch die stochstischen Prozesse $ \{Y^\prime_t ,t\ge 0\}$ und $ \{\widetilde Y_t ,t\ge 0\}$ Martingale sind, wobei

      $\displaystyle Y^\prime_t=X^2_t-t$   bzw.$\displaystyle \qquad \widetilde Y_t={\rm e}^{uX_t-u^2t/2}
$

      und $ u\in\mathbb{R}$ eine beliebige (jedoch fixierte) Zahl ist.
    • Denn genauso wie im Poisson-Fall ergibt sich, dass für beliebige $ s,t\ge 0$ mit $ s\le t$

      $\displaystyle {\mathbb{E} }(Y^\prime_t\mid\mathcal{F}^X_s) = \ldots =
X_s^2-s+...
...}(X_t-X_s)+{\mathbb{E} }\bigl((X_t-X_s)^2\bigr)-(t-s) =
X_s^2-s=Y^\prime_s ,
$

      weil $ {\mathbb{E} }(X_t-X_s)=0$ und $ {\mathbb{E} }\bigl((X_t-X_s)^2\bigr)=t-s$, d.h., $ \{Y^\prime_t\}$ ist ein Martingal.
    • Auf ähnliche Weise ergibt sich, dass für beliebige $ s,t\ge 0$ mit $ s\le t$

      $\displaystyle {\mathbb{E} }({\rm e}^{uX_t-u^2t/2}\mid\mathcal{F}^X_s)={\mathbb{E} }{\rm e}^{u(X_t-X_s)} {\rm e}^{uX_s-u^2t/2} ,
$

      woaus folgt, dass $ \{\widetilde Y_t\}$ ein Martingale ist, weil $ {\mathbb{E} }{\rm e}^{u(X_t-X_s)}={\rm e}^{u^2(t-s)/2}$.


  4. $ \;$ Lévy-Prozesse
    • Genauso wie bei den ersten drei Beispielen lässt sich für jeden Lévy-Prozess $ \{X_t, t\ge 0\}$ mit $ {\mathbb{E} }\vert X_1\vert<\infty$ ein Martingal konstruieren.
      • Denn für beliebige $ s,t\ge 0$ mit $ s\le t$ gilt

        $\displaystyle {\mathbb{E} }(X_t\mid\mathcal{F}^X_s) =X_s+(t-s) {\mathbb{E} }X_1 ,
$

      • d.h., $ \{Y_t, t\ge 0\}$ mit $ Y_t=X_t-t {\mathbb{E} }X_1$ ist ein Martingal bezüglich der Filtration $ \{\mathcal{F}_t^X, t\ge 0\}$.
    • Im allgemeinen, d.h., wenn $ {\mathbb{E} }\vert X_1\vert<\infty$ nicht vorausgesetzt wird, ist für jedes $ u\in\mathbb{R}$ ein (komplexwertiges) Martingal $ \{\widetilde Y_t ,t\ge 0\}$ gegeben durch

      $\displaystyle \widetilde Y_t={\rm e}^{{\rm i}u X_t-t\eta(u)} ,
$

      wobei $ \eta:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ der Lévy-Exponent von $ \{X_t\}$ ist; vgl. die Formel (8) in Abschnitt 3.1.
      • Denn für beliebige $ u\in\mathbb{R}$ und $ t\ge 0$ gilt $ {\mathbb{E} }\vert\widetilde
Y_t\vert={\rm e}^{-t\eta(u)}<\infty$.
      • Außerdem gilt für beliebige $ u\in\mathbb{R}$ und $ s,t\ge 0$ mit $ s\le t$
        $\displaystyle {\mathbb{E} }(\widetilde Y_t\mid \mathcal{F}_s^X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\mathbb{E} }\bigl({\rm e}^{{\rm i}uX_t-t\eta(u)}\mid \mathcal{F}_s^X\bigr)$  
          $\displaystyle =$ $\displaystyle {\mathbb{E} }\bigl({\rm e}^{{\rm i}uX_s-s\eta(u)} {\rm e}^{{\rm i}u(X_t-X_s)-(t-s)\eta(u)}\mid
\mathcal{F}_s^X\bigr)$  
          $\displaystyle =$ $\displaystyle {\rm e}^{{\rm i}uX_s-s\eta(u)}  {\mathbb{E} }\bigl( {\rm e}^{{\rm i}u(X_t-X_s)-(t-s)\eta(u)}\mid \mathcal{F}_s^X\bigr)$  
          $\displaystyle =$ $\displaystyle {\rm e}^{{\rm i}uX_s-s\eta(u)}  {\mathbb{E} }{\rm e}^{{\rm i}u(X_t-X_s)-(t-s)\eta(u)}$  
          $\displaystyle =$ $\displaystyle {\rm e}^{{\rm i}uX_s-s\eta(u)}  {\mathbb{E} }{\rm e}^{{\rm i}uX_{t-s}-(t-s)\eta(u)}
=
{\rm e}^{{\rm i}uX_s-s\eta(u)}=\widetilde Y_s ,$  

        wobei sich die dritte Gleichheit aus Teilaussage 4 in Theorem 3.6 ergibt, während die vorletzte Gleichheit aus Theorem 3.3 folgt.


  5. $ \;$ Markow-Prozesse
    • Wir zeigen nun, wie Martingale für Funktionen von Markow-Prozessen (mit endlich vielen Zuständen) konstruiert werden können.
      • Sei also $ \{X_t, t\ge 0\}$ ein Markow-Prozess mit Werten in der Menge $ E=\{1,2,\ldots,\ell\}$,
      • und sei $ {\mathbf{Q}}$ die in Abschnitt 2.3.2 eingeführte Intensitätsmatrix von $ \{X_t\}$.
    • Für jeden Vektor $ {\mathbf{b}}=(b_1,\ldots,b_\ell)^\top\in\mathbb{R}^\ell$ ist dann der stochastische Prozess $ \{Y_t, t\ge 0\}$ mit

      $\displaystyle Y_t=b_{X_t}-b_{X_0}-\int_0^t({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v} {\rm d}v\qquad\forall  t\ge0$ (16)

      ein Martingal, wobei das Integral in (16) pfadweise gebildet wird.
      • Weil $ \{X_t\}$ ein homogener Markow-Prozess ist, gilt für beliebige $ i\in E$ und $ s,t\ge 0$ mit $ s\le t$
        $\displaystyle {{\mathbb{E} }\Bigl(b_{X_t}-b_{X_s}-\int_s^t
({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v} {\rm d}v  \bigm\vert  X_s = i\Bigr)}$
          $\displaystyle =$ $\displaystyle {\mathbb{E} }\Bigl(b_{X_{t-s}}-b_{X_0}-\int_0^{t-s}
({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v} {\rm d}v  \bigm\vert   X_0 = i \Bigr) .$  

      • Um zu zeigen, dass der in (16) gegebene Prozess $ \{Y_t\}$ ein Martingal ist, genügt es also zu zeigen, dass für beliebige $ i\in E$ und $ h\ge 0$

        $\displaystyle {\mathbb{E} }(b_{X_h}\mid X_0=i)-b_{i} = \int_0^h{\mathbb{E} }(({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v}\mid X_0=i) {\rm d}v ,$ (17)

        denn man kann sich leicht überlegen, dass

        $\displaystyle {\mathbb{E} }\bigl(\int_0^h({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v} {\r...
...int_0^h{\mathbb{E} }(({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v}\mid X_0=i) {\rm d}v .
$

      • In Theorem 2.16 hatten wir gezeigt, dass die Übergangsfunktion $ \{{\mathbf{P}}(h),h\ge 0\}$ des Markow-Prozesse $ \{X_t\}$ für jedes $ h\ge 0$ durch $ {\mathbf{P}}(h)=\exp(h{\mathbf{Q}})$ gegeben ist.
      • Hieraus folgt, dass

        $\displaystyle {\mathbb{E} }\left(b_{X_h}\mid X_0=i\right)={\mathbf{e}}_i^\top\exp({\mathbf{Q}}h){\mathbf{b}}$ (18)

        und

        $\displaystyle {\mathbb{E} }\bigl(({\mathbf{Q}}{\mathbf{b}})_{X_v}\mid X_0=i\bigr) = {\mathbf{e}}_i^\top\exp({\mathbf{Q}}v){\mathbf{Q}}{\mathbf{b}} ,$ (19)

        wobei $ {\mathbf{e}}_i^\top$ ein $ \ell$-dimensionaler (Zeilen-) Vektor ist, für den sämtliche Komponenten gleich 0 sind, bis auf die $ i$-te Komponente, die gleich $ 1$ ist.
      • Aus (18) und (19) ergibt sich nun, dass (17) äquivalent ist mit

        $\displaystyle {\mathbf{e}}_i^\top\exp({\mathbf{Q}}h){\mathbf{b}}-b_{i}=\int_0^h {\mathbf{e}}_i^\top\exp({\mathbf{Q}}v){\mathbf{Q}}{\mathbf{b}}  {\rm d}v ,$ (20)

        wobei sich die Gültigkeit dieser Gleichung aus Lemma 2.3 ergibt, wenn auf beiden Seiten von (20) die Ableitung nach $ h$ gebildet wird.


  6. $ \;$ abgeschlossene Martingale
    • Sei $ X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable mit $ {\mathbb{E} }\vert X\vert<\infty$, und sei $ \{\mathcal{F}_t, t\ge 0\}$ eine beliebige Filtration.
    • Dann kann man sich leicht überlegen, dass der stochastische Prozess $ \{Y_t, t\ge 0\}$ mit

      $\displaystyle Y_t={\mathbb{E} }(X\mid\mathcal{F}_t)$ (21)

      ein Martingal ist, denn aus Teilaussage 6 von Theorem 3.6 ergibt sich, dass für beliebige $ s,t\ge 0$ mit $ s\le t$

      $\displaystyle {\mathbb{E} }\bigl({\mathbb{E} }(X\mid\mathcal{F}_t)\mid\mathcal{F}_s\bigr)={\mathbb{E} }(X\mid\mathcal{F}_s) .
$

    • Manchmal sagt man, dass der in (21) gegebene stochastische Prozess ein abgeschlossenes Martingal ist.

Beachte
 

Aus den Monotonieeigenschaften der bedingten Erwartung (vgl. die Teilaussage 3 von Theorem 3.6) ergibt sich, dass jeder adaptierte Prozess $ \{X_t, t\ge 0\}$ mit nichtfallenden Trajektorien und mit $ {\mathbb{E} }
\vert X_t\vert<\infty$ für jedes $ t\ge 0$ ein Submartingal ist.

Insbesondere ist jeder ,,integrierbare'' Subordinator ein Submartingal, d.h. jeder (nichtnegative) Lévy-Prozess $ \{X_t, t\ge 0\}$ mit nichtfallenden Trajektorien, so dass $ {\mathbb{E} }\vert X_1\vert<\infty$.

Theorem 3.10   $ \;$ Der Prozess $ \{X_t, t\ge 0\}$ sei adaptiert und $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sei eine konvexe Funktion, so dass $ {\mathbb{E} }
\vert f(X_t)\vert<\infty$ für jedes $ t\ge 0$. Dann ist $ \{f(X_t), t\ge
0\}$ ein Submartingal, wenn

Beweis
$ \;$ Aus der Jensen-Ungleichung für bedingte Erwartungen (vgl. die Teilaussage 7 von Theorem 3.6) ergibt sich in beiden Fällen, dass für beliebige $ s,t\ge 0$ mit $ s\le t$

$\displaystyle {\mathbb{E} }\bigl(f(X_t)\mid \mathcal{F}_s\bigr)\ge f\bigl({\mathbb{E} }(X_t\mid
\mathcal{F}_s)\bigr)\ge f(X_s) .
$


 
  $ \Box$



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Jonas Rumpf 2006-07-27