Ungleichung von Doob

Ein wichtiges (beweistechnisches) Hilfsmittel ist die folgende Ungleichung von Doob für Submartingale. Dabei benutzen wir die Schreibweise $x_+=\max\{x,0\}$ für jedes $x\in\mathbb{R}$.

Theorem 3.11   Der Prozess $\{X_t, t\ge 0\}$ sei adaptiert und càdlàg. Wenn $\{X_t\}$ ein Submartingal ist, dann gilt für beliebige $x>0$ und $t\ge 0$

$$P\bigl(\sup_{0\le v\le t}X_v> x\bigr)\le \frac{{\mathbb{E} }(X_t)_+}{x}\;.$$ (25)

Beweis

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• Wir können o.B.d.A. annehmen, dass $P(X_t\ge 0)=1$ für jedes $t\ge 0$, denn für jedes $x\ge 0$ gilt
  $$P\bigl(\sup_{0\le v\le t}X_v> x\bigr) =P\bigl(\sup_{0\le v\le t}\max\{X_v,0\}> x\bigr)$$
  und aus Theorem 3.10 ergibt sich, dass der stochastische Prozess $\{\widetilde X_t, t\ge 0\}$ mit $\widetilde X_t=\max\{X_t,0\}$ ebenfalls ein Submartingal ist.
• Sei nun $\{X_t, t\ge 0\}$ ein nichtnegatives Submartingal, und sei $A=\{\max_{1\le k\le n}X_{t_k}> x\}$ für beliebige $t_1,\ldots,t_n\in[0,t]$ mit $t_1\le\ldots\le t_n$.
  • Man kann sich leicht überlegen, dass sich das Ereignis $A$ darstellen lässt als die Vereinigung $A=A_1\cup\ldots\cup A_n$ einer Folge von paarweise disjunkten Mengen $A_1,\ldots,A_n$, wobei
    $$A_1=\{X_{t_1}> x\}\in\mathcal{F}_{t_1} ,\qquad A_k=\{X_{t_1}\le ... ...}}\le x,X_{t_{k}}> x\}\in\mathcal{F}_{t_k}\qquad\forall k\in\{2,\ldots,n\} .$$

  • Weil $\{X_t, t\ge 0\}$ ein nichtnegatives Submartingal ist, gilt
    $${\mathbb{E} }[X_{t_n};A_k]\ge {\mathbb{E} }[X_{t_k};A_k]\ge x P(A_k) .$$

  • Hieraus folgt, dass
    $${\mathbb{E} } X_{t_n}\ge{\mathbb{E} }[X_{t_n};A]=\sum_{k=1}^n{\mathbb{E} }[X_{t_n};A_k]\ge\sum_{k=1}^n x P(A_k)=xP(A) .$$

• Sei nun $B$ eine beliebige endliche Teilmenge des Intervalls $[0,t]$ so, dass $0\in B$ und $t\in B$.
  • Dann gilt also

    $$x P\bigl(\max_{v\in B}X_v> x\bigr)\le{\mathbb{E} }X_t .$$ (26)

    
    

  • Wegen der Monotonie von Wahrscheinlichkeitsmaßen gilt außerdem für jede monoton wachsende Folge $B_1,B_2,\ldots\subset [0,t]$ von endlichen Mengen, dass
    $$\lim_{n\to\infty}P\bigl(\max_{v\in B_n}X_v> x\bigr)=P\bigl(\bigcu... ...gr\}\bigr)=P\bigl(\bigl\{\sup_{v\in \bigcup_{n\ge 1}B_n}X_v> x\bigr\}\bigr) .$$

  • Hieraus und aus (26) folgt, dass für $B=\bigcup_{n\ge 1} B_n= ([0,t)\cap\mathbb{Q})\cup\{t\}$
    $$x P\bigl(\sup_{v\in B}X_v> x\bigr)\le{\mathbb{E} }X_t .$$

• Weil $\{X(t)\}$ rechtsstetige Trajektorien hat, ergibt sich hieraus die Gültigkeit von (25).
  
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Beachte

 

• Sei $\{X_t, t\ge 0\}$ ein (Standard-) Wiener-Prozess, und für $\mu>0$ sei $\{Y_t, t\ge 0\}$ mit $Y_t=X_t-t\mu$ ein Wiener-Prozess mit negativer Drift.
  • In Beispiel 3 von Abschnitt 3.2.3 hatten wir gezeigt, dass $\{{\rm e}^{u(Y_t+t\mu)-u^2t/2}, t\ge 0\}$ für jedes $u\in\mathbb{R}$ ein Martingal bezüglich der (natürlichen) Filtration $\{\mathcal{F}_t^X, t\ge 0\}$ ist.
  • Für $u=2\mu$ ergibt also insbesondere, dass $\{{\rm e}^{2\mu Y_t}, t\ge 0\}$ ein Martingal ist.
  • Weil die Ungleichung $\sup_{v\in[0,t]} Y_v> x$ genau dann gilt, wenn $\sup_{v\in[0,t]} {\rm e}^{2\mu Y_v}> {\rm e}^{2\mu x}$, ergibt sich aus Theorem 3.11, dass
    $$P\bigl(\sup_{t\ge 0} Y_t> x\bigr)=\lim_{t\to\infty} P\bigl(\sup_{... ...\frac{\lim_{t\to\infty}{\mathbb{E} }{\rm e}^{2\mu Y_t}}{ {\rm e}^{2\mu x}}\;.$$

  • Weil ${\mathbb{E} }{\rm e}^{2\mu Y_t}=1$ für jedes $t\ge 0$, ergibt sich hieraus, dass

    $$P\bigl(\sup_{t\ge 0} Y_t> x\bigr) \le {\rm e}^{-2\mu x}\qquad\forall x\ge 0 .$$ (27)

    
    

• Um zu zeigen, dass in (27) sogar die Gleichheit gilt, benötigen wir ein optionales Sampling-Theorem, für dessen Herleitung wir zunächst sogenannte ,,gestoppte Martingale'' betrachten.