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Reflexionsprinzip des Wiener-Prozesses; Verteilung des Maximums

Mit Hilfe von Theorem 3.15 leiten wir nun das folgende Reflexionsprinzip des Wiener-Prozesses her; vgl. hierzu Abb. 15. Es betrifft eine weitere Invarianzeigenschaft des Wiener-Prozesses (zusätzlich zu den bereits in Theorem 2.23 hergeleiteten Eigenschaften dieses Typs).

Theorem 3.16    

Beweis
$ \;$

Abbildung 15: Reflexionsprinzip des Wiener Prozesses
[width=11cm]Bilder/Reflexionsprinzip.eps

Beachte
 

Die Anwendung von Theorem 3.16 auf die Ersterreichungszeit $ T^X_{\{z\}}$ führt nun zu der folgenden Identität.

Korollar 3.5   $ \;$ Sei $ \{X_t, t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess und sei $ \{M_t, t\ge
0\}$ der Maximum-Prozess mit

$\displaystyle M_t=\max_{s\in[0,t]}X_s\qquad\forall t\ge 0 .$ (7)

Dann gilt für beliebige $ y\ge 0$ und $ z>0$

$\displaystyle P(X_t<z-y,  M_t\ge z)=P(X_t>y+z) .$ (8)

Beweis
$ \;$

Mit Hilfe von Korollar 3.5 können wir nun zeigen, dass die in Theorem 2.22 hergeleitete Schranke für die Tailfunktion von $ M_t=\max_{s\in[0,t]} X_s$ ,,optimal'' ist, d.h. mit der Tailfunktion von $ M_t$ übereinstimmt.

Theorem 3.17   $ \;$ Sei $ \{X_t, t\in [0,1]\}$ ein Wiener-Prozess. Dann gilt für beliebige $ t>0$ und $ x\ge 0$

$\displaystyle P(M_t > x) =\; \sqrt{\frac{2}{\pi t }}\;\int_x^\infty\,{\rm e}^{-y^2/2t}\,{\rm d}y\,.$ (10)

Beweis
 


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Jonas Rumpf 2006-07-27