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Wiener-Prozesse mit negativer Drift

Sei $ \{X_t, t\ge 0\}$ ein (Standard-) Wiener-Prozess und für $ \mu>0$ sei $ \{Y_t, t\ge 0\}$ mit $ Y_t=X_t-t\mu$ ein Wiener-Prozess mit negativer Drift.

Wir beweisen nun eine Formel für die Tailfunktion des Supremums $ \sup_{t\ge 0} Y_t$, wobei $ P(\sup_{t\ge 0} Y_t\ge x)$ für jedes $ x\ge 0$ als ,,Ruinwahrscheinlichkeit'' über dem unendlichen Zeithorizont $ [0,\infty)$ aufgefasst werden kann.

Dabei zeigen wir insbesondere, dass die Schranke für $ P(\sup_{t\ge 0} Y_t\ge x)$ ,,exakt'' ist, die wir bereits in Formel (27) des Abschnittes 3.2.5 hergeleitet hatten.

Theorem 3.18   $ \;$ Sei $ \{X_t, t\ge 0\}$ ein Wiener-Prozess. Dann gilt für beliebige $ \mu>0$ und $ x\ge 0$

$\displaystyle P\bigl(\sup_{t\ge 0} Y_t> x\bigr) =\; {\rm e}^{-2\mu x} ,$   $\displaystyle \mbox{wobei $Y_t=X_t-t\mu$.}$ (11)

Beweis
$ \;$



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Jonas Rumpf 2006-07-27