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Simultane
Konfidenzbereiche; Konfidenzbänder
- Auf ähnliche Weise wie in Theorem 2.6 kann man
sogenannte simultane Konfidenzbereiche zum Niveau
gleichzeitig für meherere erwartete Zielwerte
,
herleiten, die vorgegebenen (Ausgangs-)
Werten
entsprechen.
- Dabei ist erneut der Fall
von besonderem
Interesse, d.h., wenn an den Stellen
keine
Daten erhoben werden.
Hierfür ist die folgende Bonferroni-Ungleichung nützlich,
vgl. auch Übungsaufgabe WR-1.5.
Lemma 2.4
Für jede natürliche Zahl
und für beliebige
Ereignisse
gilt
|
(46) |
- Beweis
-
Aus der Subadditivität von Wahrscheinlichkeitsmaßen (vgl.
Theorem WR-2.2) ergibt sich, daß
Theorem 2.8
Die Wahrscheinlichkeit, daß
|
(47) |
gleichzeitig für jedes
gilt, ist mindestens gleich
.
- Beweis
-
- Gemäß Teilaussage 2 von Theorem 2.6 ist die
Wahrscheinlichkeit für jedes der Ereignisse
in (47) gegeben durch
- Aus Lemma 2.4 ergibt sich nun für die
Wahrscheinlichkeit des Durchschnittes
, daß
- Beachte
-
Bei der Lösung dieser Fragestellung ist die Klasse der
F-Verteilungen nützlich, vgl. Abschnitt I.3.1.3.
Außerdem ist der folgende Hilfssatz nützlich.
Lemma 2.5
Seien
beliebige reelle Zahlen mit
,
und
. Dann gilt
|
(50) |
.
- Beweis
-
- Die Behauptung gilt genau dann, wenn für alle
und wenn es ein
gibt, so daß beide Seiten dieser
Ungleichung übereinstimmen.
- Die Ungleichung gilt genau dann, wenn
bzw.
- Die letzte Ungleichung ist offenbar richtig, und für
gilt die Gleichheit.
Theorem 2.9
Sei
. Dann ist durch
die in
definierte Menge
ein Konfidenzband zum Niveau
für
die Regressionsgerade
gegeben.
- Beweis
-
- Die Behauptung ist bewiesen, wenn wir zeigen, daß
bzw.
|
(51) |
- Aus (16) ergibt sich, daß
. Weil
und
erwartungstreue Schätzer für bzw. sind, gilt
außerdem, daß
.
- Wir führen deshalb die gleiche Skalenverschiebung durch, die wir
bereits im Beweis von Theorem 2.5 betrachtet haben:
d.h. wir nehmen (o.B.d.A.) an, daß
.
- Mit anderen Worten: Anstelle (51) zeigen wir, daß es
eine Zahl
gibt, so daß
- Weil nicht von abhängt, ergibt sich aus
Lemma 2.5, daß
- Weil
und weil demzufolge
gilt, ergibt sich aus
Theorem 2.5, daß die Zufallsvariablen
und
normalverteilt und unkorreliert (und
somit gemäß Teilaussage 2 von Lemma 2.3 auch
unabhängig) sind, vgl. auch Übungsaufgabe 2.3.
- Der Zähler des letzten Quotienten ist also die Summe der Quadrate
von zwei unabhängigen N-verteilten Zufallsvariablen, d.h.,
der Zähler ist -verteilt.
- Außerdem ergibt sich aus Theorem 2.5, daß Zähler und
Nenner unabhängig sind und daß
.
- Hieraus und aus der Definition der F-Verteilung folgt, daß
(51) gilt, falls
- Beachte
-
- Es gilt t
für jedes hinreichend große , vgl.
Übungsaufgabe 3.3a.
- Hieraus folgt, daß der simultane Konfidenzbereich, der in
Theorem 2.8 mit Hilfe der Bonferroni-Ungleichung
(46) hergeleitet worden ist, für große größer ist als der simultane Konfidenzbereich, der sich aus dem
in Theorem 2.9 konstruierten Konfidenzband ergibt.
- Auf den ersten Blick scheint dies ein Widerspruch zu sein, weil in
Theorem 2.9 die Überdeckungseigenschaft für alle
gefordert wird, während diese Eigenschaft in
Theorem 2.8 nur für endlich viele
Ausgangswerte
betrachtet wird.
- Der Grund, daß Theorem 2.9 für große zu
kleineren (d.h. besseren) simultanen Konfidenzbereichen führt,
besteht darin, daß die Bonferroni-Ungleichung (46)
für große nur eine sehr ungenaue untere Schranke für die
Wahrscheinlichkeit
liefert.
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Ursa Pantle
2003-03-10