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Simultane Konfidenzbereiche; Konfidenzbänder

Hierfür ist die folgende Bonferroni-Ungleichung nützlich, vgl. auch Übungsaufgabe WR-1.5.

Lemma 2.4   $ \;$ Für jede natürliche Zahl $ m=1,2,\ldots$ und für beliebige Ereignisse $ A_1,\ldots, A_m\in\mathcal{F}$ gilt

$\displaystyle \mathbb{P}\Bigl(\bigcap\limits_{i=1}^m A_i\Bigr)\ge\sum\limits_{i=1}^m \mathbb{P}(A_i)-(m-1)\,.$ (46)

Beweis
$ \;$ Aus der Subadditivität von Wahrscheinlichkeitsmaßen (vgl. Theorem WR-2.2) ergibt sich, daß
$\displaystyle \mathbb{P}\Bigl(\bigcap\limits_{i=1}^m A_i\Bigr)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-\mathbb{P}\Bigl(\bigcup\limits_{i=1}^m A_i^c\Bigr)$  
  $\displaystyle \ge$ $\displaystyle 1-\sum\limits_{i=1}^m \mathbb{P}\bigl(A_i^c\bigr)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^m \mathbb{P}(A_i)+1
-\sum\limits_{i=1}^m \bigl(\mathbb{P}(A_i)+\mathbb{P}\bigl(A_i^c\bigr)\bigr)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^m \mathbb{P}(A_i)+1-m\,.$  


 
  $ \Box$


Theorem 2.8   $ \;$ Die Wahrscheinlichkeit, daß

$\displaystyle \widehat\alpha+\widehat\beta x_{0i}-{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/(2m...
...ma)/(2m)}S\sqrt{\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_{0i}-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}$ (47)

gleichzeitig für jedes $ i=1,\ldots,m$ gilt, ist mindestens gleich $ \gamma$.

Beweis
 

Beachte
 

Bei der Lösung dieser Fragestellung ist die Klasse der F-Verteilungen nützlich, vgl. Abschnitt I.3.1.3.

Außerdem ist der folgende Hilfssatz nützlich.

Lemma 2.5   $ \;$ Seien $ a,b,c,d\in\mathbb{R}$ beliebige reelle Zahlen mit $ a\not=0$, $ c>0$ und $ d>0$. Dann gilt

$\displaystyle \max\limits_{x\in\mathbb{R}}\;\frac{(a+bx)^2}{c+dx^2}=\frac{a^2}{c}\,+\,\frac{b^2}{d}\;.$ (50)

.

Beweis
 

Theorem 2.9   $ \;$ Sei $ a_\gamma=\sqrt{2\,{\rm F}_{2,n-2,\gamma}}$. Dann ist durch die in % latex2html id marker 38922
$ (\ref{kon.sim.ban})$ definierte Menge $ B_\gamma\subset\mathbb{R}^2$ ein Konfidenzband zum Niveau $ \gamma$ für die Regressionsgerade $ y=\alpha+\beta x$ gegeben.

Beweis
 

Beachte
 


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Ursa Pantle 2003-03-10