Einfaktorielle Varianzanalyse

Beachte

 

• Der Begriff ,,Varianzanalyse'' bedeutet nicht, daß Varianzen von Zufallsvariablen untersucht werden, sondern es handelt sich um die Analyse der Variabilität von Erwartungswerten.
• In der englischsprachigen Literatur ist die Abkürzung ANOVA üblich (ANOVA = analysis of variance).

Wir entwickeln nun die Idee der Varianzanalyse ausgehend von dem linearen Regressionsmodell, das in Abschnitt 2.1 betrachtet wurde.

• Zur Erinnerung: In Abschnitt 2.1.4 hatten wir einen t-Test zur Verifizierung von Hypothesen über den Regressionskoeffizienten $\beta$ im einfachen linearen Regressionsmodell hergeleitet.
• Von besonderem Interesse war dabei der Test der Hypothese $H_0:\beta=0$.
• Unter dieser Hypothese gilt für die Erwartungswerte der Zielvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$, daß

  $${\mathbb{E}\,}Y_1=\ldots={\mathbb{E}\,}Y_n\,.$$ (52)

  
  

• Wir setzen in diesemAbschnitt jedoch nicht voraus, daß der Zusammenhang zwischen den Ausgangsvariablen und den Zielvariablen durch eine lineare Funktion gegeben ist, und nehmen
  • anstelle der (globalen) Hypothese (52) zunächst an, daß es
  • (Teil-) Klassen innerhalb der Familie der Zielvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ mit jeweils identischem Erwartungswert gibt.
• Dies entspricht der Vorstellung, daß es Teilmengen innerhalb der Menge der Ausgangswerte $\{x_1,\ldots,x_n\}$ gibt, die jeweils in einem Konstanzbereich der Regressionsfunktion $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ liegen.
• Bei der Untersuchung dieser Fragestellung wird das folgende statistische Modell betrachtet.