Modellannahmen

• Wir nehmen, daß
  • die Zufallsstichprobe $(Y_1,\ldots,Y_n)$ sich in $k$ Klassen von Teilstichproben $(Y_{ij},\, j=1,\ldots,n_i)$ zerlegen läßt, wobei $n_i>1$ für jedes $i=1,\ldots,k$ und $\sum_{i=1}^k n_i=n$,
  • die Stichprobenvariablen, die zu einundderselben Klasse gehören, jeweils den gleichen Erwartungswert $\theta_i$ haben mögen.
• Mit anderen Worten: Wir nehmen an, daß

  $$Y_{ij}=\theta_i+\varepsilon _{ij}\,,\qquad \forall\,i=1,\ldots,k,\; j=1,\ldots,n_i\,,$$ (53)

  
  
  wobei
  • $\theta_1,\ldots,\theta_k\in\mathbb{R}$ (unbekannte) Parameter sind,
  • die Störgrößen $\varepsilon _{ij}:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängig und normalverteilt sind mit

    $${\mathbb{E}\,}\varepsilon _{ij}=0\,,\qquad{\rm Var\,}\varepsilon _{ij}=\sigma_i^2 \,,\qquad \forall\,i=1,\ldots,k,\; j=1,\ldots,n_i$$ (54)

    
    

  • und die Varianzen $\sigma^2_1,\ldots,\sigma^2_k>0$ ebenfalls unbekannte Modellparameter sind.

Beachte

 

• Die Nummern $i=1,\ldots,k$ der Klassen $(Y_{ij},\, j=1,\ldots,n_i)$ werden als Stufen eines Einflußfaktors gedeutet.
• Von besonderem Interesse ist der Fall, daß $\sigma^2_1=\ldots=\sigma^2_k=\sigma^2>0$. In diesem Fall spricht man von homoskedastischen Störgrößen, ansonsten von heteroskedastischen Störgrößen.
• Die obengemachten Modellannahmen bedeuten insbesondere, daß die beobachteten Werte $y_1,\ldots,y_n$ der Zielvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ wie folgt tabellarisch strukturiert werden können:

  
  

  Stufe	1	2	3	$\ldots$	$k$
  	$y_{11}$	$y_{21}$	$y_{31}$	$\cdots$	$y_{k1}$
  	$y_{12}$	$y_{22}$	$y_{32}$	$\cdots$	$y_{k2}$
  	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\cdots$	$y_{k3}$
  			$y_{3n_3}$		$\vdots$
  	$y_{1n_1}$
  		$y_{2n_2}$			$y_{kn_k}$