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Maximum-Likelihood-Schätzer

Beachte
$ \;$ Die Minimierung in (56) bzw. (57) kann in zwei Schritten erfolgen: zuerst bezüglich $ {\boldsymbol {\beta }}$ und dann bezüglich $ \sigma ^2$. Der erste Schritt wurde bereits in Abschnitt 3.1.2 diskutiert. Wir geben hier jedoch noch einen weiteren (alternativen) Beweis an.

Theorem 3.10   Die Lösung des Maximierungsproblems % latex2html id marker 41717
$ (\ref{max.lik.gle})$ bzw. % latex2html id marker 41719
$ (\ref{max.log.gle})$ ist eindeutig bestimmt und gegeben durch

$\displaystyle \widehat{\boldsymbol{\beta}}=({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{X}}^\top{\mathbf{Y}}$ (58)

bzw.

$\displaystyle \widehat\sigma^2=\frac{1}{n}\;\bigl({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\wid...
...bigr)^\top \bigl({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}\bigr)\,.$ (59)

Beweis
 

Beachte
 


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Ursa Pantle 2003-03-10