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Konfidenzbereiche; Prognose von Zielvariablen


Beachte
 


Zum Niveau $ \gamma\in(0,1)$ bestimmen wir nun ein Konfidenzintervall für den erwarteten Zielwert

$\displaystyle \varphi(x_{0,2},\ldots,x_{0,m})= \beta_1+\beta_2
x_{0,2}+\ldots+\beta_m x_{0,m}\,,
$

der einem vorgegebenen Vektor $ {\mathbf{x}}_0=(1,x_{0,2},\ldots,x_{0,m})^\top\in\mathbb{R}^m$ von Werten $ x_{0,2},\ldots,x_{0,m}$ der $ m-1$ Einflußfaktoren entspricht.

Beachte
 


Wir bestimmen nun noch ein Konfidenzband für die gesamte Regressionshyperebene

$\displaystyle y=\varphi(x_2,\ldots,x_m)= \beta_1+\beta_2 x_2+\ldots+\beta_m
x_m\,,\qquad\forall\,x_2,\ldots,x_m\in\mathbb{R}\,.
$

Theorem 3.20   $ \;$ Sei $ a_\gamma=\sqrt{m\,{\rm F}_{m,n-m,\gamma}}$. Dann gilt

$\displaystyle \mathbb{P}_{\boldsymbol{\beta}}\Biggl(\max\limits_{{\mathbf{x}}\i...
...{\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{x}}}\le a_\gamma^2\Biggr)=\gamma\,,$ (99)

wobei $ \mathbb{R}_1^{m-1}$ die Menge aller derjenigen Vektoren $ {\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^m$ mit $ {\mathbf{x}}=(1,x_2,\ldots,x_m)$ bezeichnet.

Beweis
 


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Ursa Pantle 2003-03-10