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Verteilungs- und Unabhängigkeitseigenschaften
der Parameterschätzer
- Definition
-
- Sei
ein -dimensionaler Zufallsvektor mit
Erwartungswertvektor
und Kovarianzmatrix
, so daß
mit .
- Dann heißt
normalverteilt, falls es einen
-dimensionalen Zufallsvektor
mit
N
gibt, so daß
,
wobei
eine Matrix ist, die der Gleichung
(57) genügt. (Schreibweise:
N
).
- Wir sagen, daß
N
singulär
normalverteilt ist, falls
. Falls
,
dann heißt
N
so wie bisher
normalverteilt bzw. regulär normalverteilt.
- Beachte
-
- Falls
, dann ist der Zufallsvektor
N
nicht absolutstetig, d.h., die Verteilung
von
besitzt keine Dichte bezüglich des -dimensionalen
Lebesgue-Maßes.
- Die Verteilung des Zufallsvektors
hängt nicht von der Wahl der Matrix
in der
Faktorisierungsgleichung (57) ab.
- Dies ergibt sich unmittelbar aus den folgenden beiden Kriterien
für das Vorliegen von (singulären bzw. regulären) multivariaten
Normalverteilungen.
Der Beweis von Theorem 4.11 wurde in den
Übungen diskutiert (vgl. Übungsaufgabe 7.4). Er wird deshalb hier
weggelassen.
Wir bestimmen nun die Verteilung der in
bzw.
gegebenen Schätzer
und
für
bzw. .
Theorem 4.12
Sei
. Dann gilt
|
(59) |
und
|
(60) |
wobei die Zufallsvariablen
und
unabhängig sind.
- Beweis
-
- Für den in (52) gegebenen Schätzer
gilt
wobei
- Aus der Definition der (singulären) multivariaten Normalverteilung
ergibt sich nun, daß
, wobei
- Damit ist (59) bewiesen. Um die Gültigkeit von
(60) zu zeigen, gehen wir ähnlich wie im Beweis von
Theorem 4.10 vor und nutzen die dort hergeleitete
Identität
|
(61) |
mit
.
- Weil
und weil wir
in Lemma 4.7 gezeigt hatten, daß
- die Matrix
idempotent und symmetrisch ist
- mit
,
ergibt sich
aus Theorem 3.15, daß die quadratische Form
eine (zentrale) -Verteilung mit Freiheitsgraden hat,
d.h.,
, vgl. auch den Beweis
von Korollar 3.6.
- Weil jede idempotente und symmetrische Matrix gleichzeitig auch
nichtnegativ definit ist und weil wegen Lemma 4.3
ergibt sich aus Theorem 3.16, daß die
Zufallsvariablen
und
unabhängig sind. Damit sind auch die Zufallsvariablen
und unabhängig, vgl. auch den Beweis von
Korollar 3.7.
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Ursa Pantle
2003-03-10