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Verteilungs- und Unabhängigkeitseigenschaften der Parameterschätzer

Definition
 

Beachte
 

Theorem 4.11    

Der Beweis von Theorem 4.11 wurde in den Übungen diskutiert (vgl. Übungsaufgabe 7.4). Er wird deshalb hier weggelassen.


Wir bestimmen nun die Verteilung der in % latex2html id marker 44979
$ (\ref{los.sig.sig})$ bzw. % latex2html id marker 44981
$ (\ref{def.ess.qua})$ gegebenen Schätzer $ \overline{\boldsymbol{\beta}}$ und $ S^2$ für $ {\boldsymbol {\beta }}$ bzw. $ \sigma ^2$.

Theorem 4.12   $ \;$ Sei $ {\,{\rm rg}}({\mathbf{X}})=r\le m$. Dann gilt

$\displaystyle \overline{\boldsymbol{\beta}}\sim\, {\rm N}\bigl( ({\mathbf{X}}^\...
...bf{X}}^\top{\mathbf{X}}\bigl(({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^-\bigr)^\top\bigr)$ (59)

und

$\displaystyle \frac{(n-r)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-r}\,,$ (60)

wobei die Zufallsvariablen $ \overline{\boldsymbol{\beta}}$ und $ S^2$ unabhängig sind.

Beweis
 


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Ursa Pantle 2003-03-10