Zweifaktorielle Varianzanalyse mit hierarchischer Klassifikation

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Zweifaktorielle Varianzanalyse mit hierarchischer Klassifikation

Anstelle des in Abschnitt 4.1.2 eingeführten Modells der zweifaktoriellen Varianzanalyse mit Wechselwirkungen wird manchmal das folgende Modell der zweifaktoriellen Varianzanalyse mit hierarchischer Klassifikation der Stufenpaare der beiden Einflußfaktoren betrachtet.
Dabei betrachten wir nun die Darstellung

$\displaystyle \theta_{i_1i_2}=\mu+\alpha^{(1)}_{i_1}+\alpha^{(2\mid 1)}_{i_2\mid i_1} \,,\qquad\forall\,i_1=1,\ldots,k_1,\; i_2=1,\ldots,k_2$ (86)

der Erwartungswerte $\theta_{i_1i_2}={\mathbb{E}\,}Y_{i_1i_2,j}$ der Stichprobenvariablen $Y_{i_1i_2,j}$ .
Mit anderen Worten: In jede der Stufen des ersten, d.h. übergeordneten Einflußfaktors sind Stufen des zweiten (untergeordneten) Einflußfaktors eingebettet.
Diese Situation kann beispielsweise bei klinischen Studien auftreten, die gleichzeitig in Ländern (übergeordneter Einflußfaktor) und dabei jeweils in Krankenhäusern (untergeordneter Einflußfaktor) durchgeführt werden.
Der Parametervektor ${\boldsymbol {\beta }}$ hat dann die Dimension mit

$\displaystyle {\boldsymbol{\beta}}=\bigl(\mu,\alpha^{(1)}_1,\ldots, \alpha^{(1... ...{(2\mid 1)}_{1\mid 1}, \ldots,\alpha^{(2\mid 1)}_{k_2\mid k_1}\bigr)^\top\,.$
Dabei wird
- $\mu$ erneut als allgemeines Mittel der Erwartungswerte ${\mathbb{E}\,} Y_{i_1i_2j}$ der Stichprobenvariablen $Y_{i_1i_2j}$ aufgefaßt,
- $\alpha^{(1)}_{i_1}$ wird Effekt der -ten Stufe des übergeordneten Einflußfaktors genannt, und
- $\alpha^{(2\mid 1)}_{i_2\mid i_1}$ heißt Effekt der -ten Stufe des untergeordneten Einflußfaktors bei Vorliegen der -ten Stufe des übergeordneten Einflußfaktors.
Wir betrachten wiederum lediglich den balancierten Fall, d.h., wir setzen voraus, daß sämtliche $k_1\cdot k_2$ Teilstichproben $(Y_{i_1i_2j},\, j=1,\ldots,n_{i_1i_2})$ identische Stichprobenumfänge besitzen.
Es gilt also $n_{i_1i_2}=r$ für alle $i_1=1,\ldots,k_1$ und $i_2=1,\ldots,k_2$ mit , die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ hat die Dimension $n\times m$ mit und , und die Eintragungen von ${\mathbf{X}}$ bestehen nur aus Nullen und Einsen; ${\,{\rm rg}}({\mathbf{X}})=k_1k_2<m$ .

Signifikanz des übergeordneten Einflußfaktors

Genauso wie in Abschnitt 4.4.2 läßt sich zunächst ein Test zur Untersuchung der Frage konstruieren, ob die Stufen des übergeordneten Einflußfaktors signifikant sind. Hierfür prüfen wir die Hypothese, ob die gemittelten Effekte $\alpha_{i_1}^{(1)*}$ gleich sind, wobei

$\displaystyle \alpha_{i_1}^{(1)*}=\alpha_{i_1}^{(1)}+\frac{1}{k_2}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\alpha^{(2\mid 1)}_{i_2\mid i_1}\,.$
Mit anderen Worten: Wir testen wir die Hypothese

$\displaystyle H_0: \alpha_{1}^{(1)*}-\alpha_{i_1}^{(1)*}=0\quad\forall\, i_1\in\{1,\ldots,k_1\}$ versus $\displaystyle \qquad H_1: \alpha_{1}^{(1)*}-\alpha_{i_1}^{(1)*}\not=0$ $\displaystyle \mbox{für ein $i_1\in\{1,\ldots,k_1\}$}$ $\displaystyle \,.$
Dabei kann man (so wie in Übungsaufgabe 12.3) zeigen, daß die Nullhypothese die Form $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ hat, wobei ${\mathbf{H}}$ eine $(k_1-1)\times m$ Matrix mit vollem Zeilenrang ${\,{\rm rg}}({\mathbf{H}})=k_1-1$ ist und sämtliche Komponenten des Vektors ${\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}$ schätzbare Funktionen von ${\boldsymbol {\beta }}$ sind.
Zur Verifizierung der Hypothese $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ kann somit die in Theorem 4.14 betrachtete Testgröße

$\displaystyle T_{\mathbf{H}}=\frac{(SSE_H-SSE)/(k_1-1)}{SSE/(k_1k_2(r-1))}\sim\,{\rm F}_{k_1-1,\,k_1k_2(r-1)}$
verwendet werden mit

$\displaystyle SSE=\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\sum\limits... ..._1} \bigl(\overline Y_{i_1\cdot\cdot}- \overline Y_{\cdot\cdot\cdot}\bigr)^2\,,$ (87)

wobei die Formeln in (87) genauso wie (82) bzw. (83) bewiesen werden.

Signifikanz des untergeordneten Einflußfaktors

Um zu prüfen, ob die Stufen des untergeordneten Einflußfaktors signifikant sind, kann man ähnlich wie bei dem letzten Test in Abschnitt 4.4.2 (auf Signifikanz der Wechselwirkungen) vorgehen. Hierfür testen wir die Hypothese

$\displaystyle H_0:\alpha^{(2\mid 1)*}_{1\mid 1}-\alpha^{(2\mid 1)*}_{i_2\mid i_1}=0\quad\forall\, (i_1,i_2)\in\{1,\ldots,k_1\}\times\{1,\ldots,k_2\}\,,$ (88)

wobei

$\displaystyle \alpha^{(2\mid 1)*}_{i_2\mid i_1}=\alpha_{i_2\mid i_1}^{(2\mid 1)... ...s_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} \alpha^{(2\mid 1)}_{i_2\mid i_1}\,.$
Man kann zeigen, daß sich die in (84) betrachtete Hypothese in der Form $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ schreiben läßt, wobei ${\mathbf{H}}$ eine $k_1(k_2-1)\times m$ Matrix mit vollem Zeilenrang ${\,{\rm rg}}({\mathbf{H}})=k_1(k_2-1)$ ist und sämtliche Komponenten des Vektors ${\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}$ schätzbare Funktionen von ${\boldsymbol {\beta }}$ sind.
Zur Verifizierung der Hypothese $H_0:{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{o}}$ kann somit die in Theorem 4.14 betrachtete Testgröße

$\displaystyle T_{\mathbf{H}}=\frac{(SSE_H-SSE)/(k_1(k_2-1))}{SSE/(k_1k_2(r-1))}$
verwendet werden, wobei sich die in (68) bzw. (69) definierten Quadratsummen und wie folgt bestimmen lassen.
Und zwar gilt so wie bisher

$\displaystyle SSE=\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\sum\limits_{j=1}^r \bigl(Y_{i_1i_2j}-\overline Y_{i_1i_2\cdot}\bigr)^2\,,$ (89)

und die Menge $% latex2html id marker 46005 $ \{{\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}:\,{\boldsymbol{\beta}}\in\Theta_H\}$$ läßt sich durch die Menge $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_1}_H\subset\mathbb{R}^{1+k_1}$ derjenigen Vektoren ${\mathbf{x}}=(x,x^{(1)}_1,\ldots,x^{(1)}_{k_1})\in\mathbb{R}^{1+k_1}$ beschreiben, für die $\sum_{i_1=1}^{k_1} x^{(1)}_{i_1}=0$ .
Somit ergibt sich, daß

$\displaystyle SSE_H$ $\displaystyle =$ $% latex2html id marker 46018 $\displaystyle ({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\overline{... ...\in\Theta_H}\bigl\Vert{\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}\bigr\Vert^2$$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \min\limits_{{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_1}_H} \... ...ts_{i_2=1}^{k_2} \sum\limits_{j=1}^r\bigl(Y_{i_1i_2j}-(x+x_{i_1}^{(1)})\bigr)^2$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \min\limits_{{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_1}_H} \... ... Y_{i_1i_2\cdot}\bigr)^2 + k_1k_2r\bigl(\overline Y_{\cdot\cdot\cdot}-x\bigr)^2$

$\displaystyle +k_2r\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\bigl(\overline Y_{i_1\cdot\cdot}-\... ...} \bigl(\overline Y_{i_1i_2\cdot}-\overline Y_{i_1\cdot\cdot} \bigr)^2 \Biggr\}$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\sum\limits_{j=... ...}^{k_2} \bigl(\overline Y_{i_1i_2\cdot}-\overline Y_{i_1\cdot\cdot} \bigr)^2\,.$
Hieraus und aus (89) folgt, daß

$\displaystyle SSE_H-SSE=\;r \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2} \bigl(\overline Y_{i_1i_2\cdot}-\overline Y_{i_1\cdot\cdot}\bigr)^2\,.$
Somit gilt

$\displaystyle T_{\mathbf{H}}=\frac{k_1k_2(r-1) r \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum... ...overline Y_{i_1i_2\cdot}\bigr)^2} \sim\,{\rm F}_{k_1(k_2-1),\,k_1k_2(r-1)}\,.$

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Ursa Pantle 2003-03-10

$\displaystyle SSE_H$	$\displaystyle =$	$% latex2html id marker 46018 $\displaystyle ({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\overline{... ...\in\Theta_H}\bigl\Vert{\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}\bigr\Vert^2$$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \min\limits_{{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_1}_H} \... ...ts_{i_2=1}^{k_2} \sum\limits_{j=1}^r\bigl(Y_{i_1i_2j}-(x+x_{i_1}^{(1)})\bigr)^2$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \min\limits_{{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{k_1}_H} \... ... Y_{i_1i_2\cdot}\bigr)^2 + k_1k_2r\bigl(\overline Y_{\cdot\cdot\cdot}-x\bigr)^2$
		$\displaystyle +k_2r\sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\bigl(\overline Y_{i_1\cdot\cdot}-\... ...} \bigl(\overline Y_{i_1i_2\cdot}-\overline Y_{i_1\cdot\cdot} \bigr)^2 \Biggr\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum\limits_{i_1=1}^{k_1}\sum\limits_{i_2=1}^{k_2}\sum\limits_{j=... ...}^{k_2} \bigl(\overline Y_{i_1i_2\cdot}-\overline Y_{i_1\cdot\cdot} \bigr)^2\,.$