Tests von Verteilungsannahmen

• Die Zufallsstichprobe ${\mathbf{Y}}=(Y_1,\ldots,Y_n)^\top$ sei gegeben durch das lineare Modell ${\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }}$, wobei die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ eine beliebige $n\times m$ Matrix ist mit $n\ge m$ und vollem Spaltenrang ${\,{\rm rg}}({\mathbf{X}})=m$.
• So wie bisher sei ${\boldsymbol{\beta}}=(\beta_1,\ldots,\beta_m)^\top$ ein (unbekannter) Parametervektor, und ${\boldsymbol{\varepsilon }}=(\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n)^\top$ sei ein Vektor von zufälligen Störgrößen $\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n:\Omega\to\mathbb{R}$, die unabhängig und identisch verteilt seien.
• In mehreren Abschnitten der Kapitel 2 - 4 hatten wir zusätzlich angenommen, daß die Störgrößen $\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n$ normalverteilt sind, d.h.,

  $${\boldsymbol{\varepsilon }}\sim\,{\rm N}({\mathbf{o}},\,\sigma^2{\mathbf{I}})\,,$$ (1)

  
  
  wobei $\sigma^2>0$ ein weiterer Modellparameter ist.
• Wenn wir unsicher sind, ob (1) gilt, dann können wir diese zusätzliche Modellannahme wie folgt durch die Beobachtung der Zufallsstichprobe ${\mathbf{Y}}=(Y_1,\ldots,Y_n)^\top$ verifizieren.
• Zur Erinnerung: Aus (1) und aus Theorem 3.9 folgt, daß die Verteilung des Vektors ${\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }}$ der Stichprobenvariablen bzw. des MKQ-Schätzers $\widehat{\boldsymbol{\beta}}=({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{X}}^\top{\mathbf{Y}}$ gegeben ist durch
  $${\mathbf{Y}}\sim\,{\rm N}({\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}},\,\sigma^2{\mathbf{I}})$$   und$$\qquad \widehat{\boldsymbol{\beta}}=({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X... ...({\boldsymbol{\beta}},\,\sigma^2({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}\bigr)\,.$$

• Hieraus ergibt sich, daß ${\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{G}}{\boldsymbol... ...2{\mathbf{G}}{\mathbf{G}}^\top)= \,{\rm N}({\mathbf{o}},\,\sigma^2{\mathbf{G}})$, weil die $n\times n$ Matrix ${\mathbf{G}}={\mathbf{I}}-{\mathbf{X}}({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{X}}^\top$ gemäß Lemma 4.7 idempotent und symmetrisch ist mit ${\,{\rm rg}}({\mathbf{G}})=n-r$.
• Ähnlich wie im Beweis von Lemma 3.9 kann man zeigen, daß

  $${\mathbf{V}}^\top{\mathbf{G}}{\mathbf{V}}=\left(\begin{array}{cc} {\mathbf{I}}_{n-r} & {\bf0}\\ {\bf0} & {\bf0} \end{array}\right) \,,$$ (2)

  
  
  wobei ${\mathbf{V}}=((\lambda_1)^{-1/2}{\mathbf{v}}_1,\ldots,(\lambda_{n-r})^{-1/2}{\mathbf{v}}_{n-r},{\mathbf{v}}_{n-r+1},\ldots,{\mathbf{v}}_n)$ eine $n\times n$ Matrix mit orthogonalen Spaltenvektoren ist, so daß ${\mathbf{v}}_1,\ldots,{\mathbf{v}}_{n-r}$ orthonormale Eigenvektoren sind, die zu den positiven Eigenwerten $\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-r}$ von ${\mathbf{G}}$ gehören, und ${\mathbf{v}}_{n-r+1},\ldots,{\mathbf{v}}_n$ orthonormale Eigenvektoren sind, die zu dem Eigenwert 0 gehören.
• Dann gilt

  $${\mathbf{V}}^\top({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\... ...cc} {\mathbf{I}}_{n-r} & {\bf0}\\ {\bf0} & {\bf0} \end{array}\right)\right)\,.$$ (3)

  
  

• Mit anderen Worten: Aus (3) folgt, daß die ersten $n-r$ Komponenten des Vektors ${\mathbf{V}}^\top({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}})$ unabhängig und N $(0,\sigma^2)$-verteilt sind.
• Falls $\sigma ^2$ bekannt ist, dann können wir das Vorliegen der N $(0,\sigma^2)$-Verteilung beispielsweise mit dem in Abschnitt 5.1 diskutierten $\chi ^2$-Anpassungstests verifizieren. Falls $\sigma ^2$ unbekannt ist, dann kann das Vorliegen einer Normalverteilung mit einem modifizierten $\chi ^2$-Anpassungstest verifiziert werden, der in Abschnitt 5.2 diskutiert wird.