Multivariater zentraler Grenzwertsatz und weitere Hilfsmittel

Wir bestimmen die Verteilung der Testgröße $T_n$ näherungsweise für große $n$ und verwenden hierfür den Begriff der Verteilungskonvergenz von Zufallsvektoren.

Definition

 

• Sei $m\in\mathbb{N}$ eine beliebige natürliche Zahl, und seien ${\mathbf{X}},{\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}^m$ beliebige Zufallsvektoren.
• Man sagt, daß $\{{\mathbf{X}}_n\}$ in Verteilung gegen ${\mathbf{X}}$ konvergiert, falls

  $$\lim\limits\mathbb{P}({\mathbf{X}}_n\le{\mathbf{x}})=\mathbb{P}({\mathbf{X}}\le{\mathbf{x}})$$ (9)

  
  
  für jedes ${\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^m$ mit $\mathbb{P}({\mathbf{X}}={\mathbf{x}})=0$. Schreibweise: ${\mathbf{X}}_n\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}{\mathbf{X}}$.

Wir benötigen den folgenden Stetigkeitssatz für charakteristische Funktionen von Zufallsvektoren, der eine mehrdimensionale Verallgemeinerung von Theorem WR-5.20 ist und den wir hier ohne Beweis angeben.

Lemma 5.2   $\;$ Sei $m\in\mathbb{N}$, und seien ${\mathbf{X}},{\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}^m$ beliebige Zufallsvektoren. Es gilt ${\mathbf{X}}_n\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}{\mathbf{X}}$ genau dann, wenn

$$\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_{{\mathbf{X}}_n}({\mathbf{t}}) =\... ...hi_{{\mathbf{X}}}({\mathbf{t}})\,,\qquad\forall\,{\mathbf{t}}\in\mathbb{R}^m\,.$$ (10)

Außerdem benötigen wir den folgenden

• multivariaten zentralen Grenzwertsatz für Summen von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvektoren,
• der eine Verallgemeinerung des entsprechenden (1-dimensionalen) zentralen Grenzwertsatzes für reellwertige Zufallsvariablen ist, vgl. Theorem WR-5.16.

Lemma 5.3    

• Sei $m\in\mathbb{N}$, und sei ${\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}^m$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvektoren mit Erwartungswertvektor ${\boldsymbol{\mu}}=(\mu_1,\ldots,\mu_m)^\top$ und positiv definiter Kovarianzmatrix ${\mathbf{K}}$.
• Dann gilt

  $$\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}\Bigl(\frac{({\mathbf{X}}_1+\ld... ...\Phi_{\mathbf{K}}({\mathbf{x}})\,,\qquad\forall\,{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^m\,,$$ (11)

  
  
  wobei $\Phi_{\mathbf{K}}:\mathbb{R}^m\to[0,1]$ die Verteilungsfunktion der ${\rm N}({\mathbf{o}},{\mathbf{K}})$-Verteilung bezeichnet.

Beweis

 

• Wegen Lemma 5.2 ist die Verteilungskonvergenz (11) äquivalent mit

  $$\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_n({\mathbf{t}})=\varphi({\mathbf{t}})\,,\qquad\forall\,{\mathbf{t}}\in\mathbb{R}^m\,,$$ (12)

  
  
  wobei

  $$\varphi_n({\mathbf{t}})={\mathbb{E}\,}\exp\Bigl({\rm i}\,\sum\limits_{j=1}^m t_j\;\frac{(X_{1j}+\ldots+X_{nj})-n\mu_j}{\sqrt{n}} \Bigr)$$ (13)

  
  
  die charakteristische Funktion von ${\mathbf{X}}_n=(X_{n1},\ldots,X_{nm})^\top$ und

  $$\varphi({\mathbf{t}})=\exp\Bigl(-\;\frac{1}{2}\;{\mathbf{t}}^\top{\mathbf{K}}{\mathbf{t}}\Bigr)$$ (14)

  
  
  die charakteristische Funktion der N $({\mathbf{o}},{\mathbf{K}})$-Verteilung ist.
• Für die in (13) betrachtete charakteristische Funktion $\varphi_n({\mathbf{t}})$ gilt die Darstellungsformel

  $$\varphi_n({\mathbf{t}})={\mathbb{E}\,}\exp\Bigl({\rm i}\,\sum\lim... ...} \Bigr)\,,\qquad \forall\,{\mathbf{t}}=(t_1,\ldots,t_m)^\top\in\mathbb{R}^m\,,$$ (15)

  
  
  wobei
  $${\mathbb{E}\,}\Bigl(\sum\limits_{j=1}^m t_j(X_{kj}-\mu_j)\Bigr)=0... ...={\mathbf{t}}^\top{\mathbf{K}}{\mathbf{t}}\,,\qquad\forall\,k\in\mathbb{N}\,.$$

• Hieraus folgt, daß die Zahl $\varphi_n({\mathbf{t}})$ der Wert der charakteristischen Funktion der reellwertigen Zufallsvariable $\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^m t_j(X_{nj}-\mu_j)/\sqrt{n}$ an der Stelle $1$ ist.
• Außerdem ergibt sich aus (14), daß $\varphi({\mathbf{t}})$ der Wert der charakteristischen Funktion der (1-dimensionalen) Normalverteilung N $(0,{\mathbf{t}}^\top{\mathbf{K}}{\mathbf{t}})$ an der Stelle $1$ ist.
• Andererseits ergibt sich aus Theorem WR-5.16, d.h., aus dem (1-dimensionalen) zentralen Grenzwertsatz für reellwertige Zufallsvariablen, daß für $n\to\infty$
  $$\sum\limits_{k=1}^n \frac{\sum\limits_{j=1}^m t_j(X_{nj}-\mu_j)}... ...ongrightarrow}X\sim\, {\rm N}(0,{\mathbf{t}}^\top{\mathbf{K}}{\mathbf{t}})\,.$$

• Hieraus, aus (14) - (15) und aus Theorem WR-5.20, d.h., aus dem Stetigkeitssatz für charakteristische Funktionen von reellwertigen Zufsllsvariablen ergibt sich nun die Gültigkeit von (12).
  
  $\Box$

Beachte

$\;$ Die Idee, den Beweis des multivariaten zentralen Grenzwertsatzes in Lemma 5.3 mit Hilfe des Stetigkeitssatzes für charakteristische Funktionen von Zufallsvektoren auf den zentralen Grenzwertsatz für reellwertige Zufallsvariablen zurückzuführen, wird in der englischsprachigen Literatur Cramèr-Wold Device genannt.

Schließlich benötigen wir noch eine vektorielle Version des Continuous Mapping Theorems, das wir in Theorem WR-5.12 für die Verteilungskonvergenz von stetigen Funktionen reellwertiger Zufallsvariablen hergeleitet hatten.

Lemma 5.4    

• Sei $m\in\mathbb{N}$, seien ${\mathbf{X}},{\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}^m$ beliebige Zufallsvektoren, und sei $\varphi:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ eine stetige Funktion.
• Dann gilt $\varphi({\mathbf{X}}_n)\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}\varphi({\mathbf{X}})$, falls ${\mathbf{X}}_n\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}{\mathbf{X}}$.

Der Beweis von Lemma 5.4 verläuft ähnlich wie der Beweis von Theorem  WR-5.12 und wird deshalb weggelassen.