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Asymptotische Verteilung der Pearson-Statistik

Das folgende Theorem ist die Grundlage des $ \chi ^2$-Anpassungstests, der von Karl Pearson (1857-1936) eingeführt worden ist.

Theorem 5.1   Für jedes $ P\in\Delta_0$ gilt

$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\mathbb{P}\bigl(T_n(X_1,\ldots,X_n) >\chi^2_{r-1,\gamma}\bigr)=1-\gamma\,,\qquad\forall\,\gamma\in(0,1)\,,$ (16)

wobei $ \chi^2_{r-1,\gamma}$ das $ \gamma$-Quantil der $ \chi ^2$-Verteilung mit $ r-1$ Freiheitsgraden bezeichnet.

Beweis
 


Beachte
 


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Ursa Pantle 2003-03-10