t-Tests für Regressionskonstante und Regressionskoeffizient

• Für das einfache lineare Regressionsmodell mit normalverteilten Störgrößen kann man nun t-Tests zur Verifizierung von Hypothesen über die Regressionskonstante bzw. den Regressionskoeffizienten mit Hilfe von Theorem 2.5 herleiten, vgl. auch das Kapitel I.4 über Tests statistischer Hypothesen.
• Zur Erinnerung: Sei $r\in\mathbb{N}$ eine beliebige natürliche Zahl, und seien $X$ und $U_r$ unabhängige Zufallsvariablen mit $X\sim$ N$(0,1)$ und $U_r\sim\,\chi^2_r$. Dann sagt man (vgl. Abschnitt I.1.3.4), daß die Zufallsvariable
  $$V_r=X\Bigl/\sqrt{\frac{U_r}{r}}$$
  t-verteilt ist mit $r$ Freiheitsgraden. (Schreibweise: $V_r\sim$ t$_r$)
• Die Schätzer $\widehat\alpha$, $\widehat\beta$ und $S^2$ seien so wie bisher durch (16) bzw. (26) gegeben, d.h.
  $$\widehat\beta=\frac{s^2_{xY}}{s^2_{xx}}\;,\qquad\widehat\alpha= ... ...} \sum\limits_{i=1}^n \bigl(Y_i-\widehat\alpha-\widehat\beta x_i\bigr)^2\,.$$

• Aus den Verteilungs- und Unabhängigkeitseigenschaften, die in Theorem 2.5 hergeleitet worden sind, ergibt sich nun unmittelbar, daß

  $$\frac{\widehat\alpha-\alpha}{S\sqrt{\Bigl(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2\Bigr)\Bigl/\bigl(n(n-1) s^2_{xx}\bigr)}}\;\sim\;{\rm t}_{n-2}$$ (36)

  
  
  und

  $$\frac{\widehat\beta-\beta}{S\bigl/\sqrt{(n-1)s^2_{xx}}}\;\sim\;{\rm t}_{n-2}\,.$$ (37)

  
  

• Beim Test der Hypothese $H_0:\alpha=\alpha_0$ zum Niveau $1-\gamma\in(0,1)$ (gegen die Alternative $H_1:\alpha\not=\alpha_0$) wird die Nullhypothese $H_0$ abgelehnt, falls

  $$\frac{\bigl\vert\,\widehat\alpha-\alpha_0\,\bigr\vert}{S\sqrt{\Bi... ...^2\Bigr)\Bigl/\bigl(n(n-1) s^2_{xx}\bigr)}}\;>\;{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}\,,$$ (38)

  
  
  wobei ${\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}$ das $(1-(1-\gamma)/2)$-Quantil der t-Verteilung mit $n-2$ Freiheitsgraden bezeichnet, vgl. Abschnitt I.3.1.2.
• Analog wird beim Test der Hypothese $H_0:\beta=\beta_0$ zum Niveau $1-\gamma\in(0,1)$ (gegen die Alternative $H_1:\beta\not=\beta_0$) die Nullhypothese $H_0$ abgelehnt, falls

  $$\frac{\bigl\vert\,\widehat\beta-\beta_0\,\bigr\vert}{S\bigl/\sqrt{(n-1)s^2_{xx}}}\;>\;{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}\,.$$ (39)

  
  

Beachte

 

• Von besonderem Interesse ist der Test der Hypothese $H_0:\beta=0$ (gegen die Alternative $H_1:\beta\not=0$).
• Hierbei wird die Nullhypothese $H_0$ abgelehnt, falls

  $$\frac{\bigl\vert\,\widehat\beta\,\bigr\vert}{S\bigl/\sqrt{(n-1)s^2_{xx}}}\;>\;{\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/2}\,.$$ (40)

  
  

Beispiel

$\;$ (vgl. L.J. Kazmier (1999) Wirtschaftsstatistik. McGraw-Hill, S. 256ff.) 

• Eine Speditionsfirma will anhand von 10 zufällig ausgewählten Lkw-Lieferungen untersuchen, ob ein bzw. welcher Zusammenhang zwischen der Länge des Transportweges (in km) und der Lieferzeit (in Tagen) von der Abholbereitstellung bis zum Eintreffen der Lieferung beim Empfänger besteht.
• Es wurden die folgenden Daten erhoben:

  Nummer der Lieferung	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  Weglänge (in km)	825	215	1070	550	480	920	1350	325	670	1215
  Lieferzeit (in Tagen)	3.5	1.0	4.0	2.0	1.0	3.0	4.5	1.5	3.0	5.0

• Dabei werden die Weglängen als Ausgangsvariablen ($X$) und die Lieferzeiten als Zielvariablen ($Y$) aufgefaßt.
• Aus diesen Daten ergeben sich gemäß (16) die folgenden Schätzwerte für den Regressionskoeffizienten $\beta$ bzw. Regressionskonstante $\alpha$:
  $$\widehat\beta=\frac{s^2_{xy}}{s^2_{xx}}=0.0036\;,\qquad\widehat\alpha= \overline y_{10}-\widehat\beta\overline x_{10}=0.11\,.$$

• Die geschätzte Regressionsgerade hat somit die Gestalt: $\widehat y=0.11+0.0036 x$.
• Hieraus ergeben sich die geschätzten Lieferzeiten $\widehat y_i$ bzw. die Residuen $\widehat\varepsilon _i$ für die beobachteten Weglängen $x_i$:

  Nummer der Lieferung	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  beobachtete Lieferzeit	3.5	1.0	4.0	2.0	1.0	3.0	4.5	1.5	3.0	5.0
  geschätzte Lieferzeit	3.08	0.88	3.96	2.09	1.84	3.42	4.97	1.28	2.52	4.48
  Residuum	0.42	0.12	0.04	-0.09	-0.84	-0.42	-0.47	0.22	0.48	0.52

• Als Schätzwert der Varianz $\sigma ^2$ der Störgrößen $\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _{10}$ ergibt sich somit gemäß (26)
  $$S^2=\frac{1}{8}\;\sum\limits_{i=1}^{10}\widehat\varepsilon _i^2\approx 0.48^2\,.$$

• Um zu prüfen, ob überhaupt ein (signifikanter) Zusammenhang zwischen der Länge des Transportweges und der Lieferzeit besteht, soll nun die Hypothese $H_0:\beta=0$ (gegen die Alternative $H_1:\beta\not=0$) zum Niveau $1-\gamma=0.05$ getestet werden.
• Aus den beobachteten Daten ergibt sich, daß
  $$\overline x_{10}=762\,,\quad \sum_{i=1}^{10}x_i^2=7104300\,,\quad \sqrt{\sum_{i=1}^{10}x_i^2-10\,\overline x^2_{10}}=1139.24$$
  und somit
  $$\frac{\vert\,\widehat\beta\,\vert}{S/\sqrt{\sum_{i=1}^{10}x_i^2-1... ...erline x^2_{10}}}=\frac{0.0036}{0.48/1139.24}=\frac{0.0036}{0.00004}=9.00\,.$$

• Andererseits gilt t $_{8,0.975}=2.306$.
• Gemäß (40) wird also die Hypothese $H_0:\beta=0$ abgelehnt, d.h., es besteht ein signifikanter Zusammenhang zwischen der Länge des Transportweges und der Lieferzeit.