Stochastische Unabhängigkeit

Der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit zweier Ereignisse $A,B\in\mathcal{F}$ ist mit der intuitiven Vorstellung verbunden, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A\mid B)$ des Ereignisses $A$ unter der Bedingung $B$ mit der ,,unbedingten'' Wahrscheinlichkeit $P(A)$ von $A$ übereinstimmt, d.h. $P(A\mid B)=P(A)$, wobei $P(B)>0$ vorausgesetzt wird.

Es ist jedoch zweckmäßiger, die folgende (äquivalente) Gleichung $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ zu betrachten, weil durch sie auch der Fall $P(B)=0$ erfasst wird.

Definition

 

1. Die Ereignisse $A,\, B\in \mathcal{F}$ heißen unabhängig, falls $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
2. Sei $A_1,A_2,\ldots,A_n\in\mathcal{F}$ eine beliebige Folge von Ereignissen. Dann sagt man, dass $A_1,A_2,\ldots,A_n$ unabhängige Ereignisse sind, falls für jede Teilfolge $\{i_1,i_2,\ldots,i_k\}\subset\{1,2,\ldots,n\}$ gilt:

   $$P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\ldots\cap A_{i_k}) =\prod ^k_{j=1} P(A_{i_j})\,.$$ (19)

   
   

Beachte

 

1. Der Begriff der Unabhängigkeit wird auch für unendliche Folgen von Ereignissen benötigt. Man sagt, dass $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{F}$ unabhängige Ereignisse sind, falls für jede endliche Teilfolge $\{i_1,i_2,\ldots,i_k\}\subset\{1,2,\ldots,\}$ die Bedingung (19) erfüllt ist.
2. Das folgende Beispiel zeigt, dass die Unabhängigkeit von Ereignis-Paaren $A_{i_1},A_{i_2}$ im allgemeinen nicht die (vollständige) Unabhängigkeit der gesamten Folge $A_1,A_2,\ldots,A_n$ impliziert.

Beispiel

 

• Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ gegeben durch $\Omega =\{1,2,3,4\}$, $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$, $P(\{k\})=\frac{1}{4}$ für jedes $k\in\Omega$.
• Sei $A_k=\{k,4\}$ für $k=1,2,3$.
• Dann sieht man leicht, dass
  1. die Paare $A_1, A_2$ bzw. $A_2, A_3$ bzw. $A_1, A_3$ jeweils unabhängig sind,
  2. die Ereignisse $A_1,A_2,A_3$ jedoch nicht unabhängig sind.
• Denn es gilt
  $$P(A_i\cap A_{i+1})= P(\{4\})=\frac{1}{4}\qquad =\qquad P(A_i)\cdot P(A_{i+1})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$   für $i=1,2$$$$$
  bzw.
  $$P(A_1\cap A_3)= P(\{4\})=\frac{1}{4}\qquad =\qquad P(A_1)\cdot P(A_3)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\;.$$

• Jedoch
  $$P(A_1\cap A_2\cap A_3)= P(\{4\})=\frac{1}{4}\qquad \neq \qquad P(A_1)\cdot P(A_2)\cdot P(A_3)=\frac{1}{8}\;.$$

In Ergänzung von Korollar 2.3 können wir nun den zweiten Teil des Lemmas von Borel-Cantelli formulieren und beweisen.

Theorem 2.7   Sei $A_{1},A_{2},\ldots \in \mathcal{F}$ eine beliebige Folge von unabhängigen Ereignissen. Falls

$$\sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i)=\infty\,,$$ (20)

dann gilt

$$P(\limsup\nolimits_n A_n)=1\,,$$ (21)

Beweis

 

• Für reelle Zahlen $\alpha_k,\ldots,\alpha_{k+l}$ mit $k,l=1,2,\ldots$ gilt bekanntlich $\log(1-\alpha_i)\le-\alpha_i$, falls $0\le\alpha_i\le 1$.
• Hieraus folgt, dass
  $$\log\bigl(\prod\limits_{n=k}^{k+l}(1-\alpha_n)\bigr)\le -\sum\limits_{n=k}^{k+l}\alpha_n\,.$$

• Weil mit den Ereignissen $A_1,A_2,\ldots$ auch die Ereignisse $A_1^c,A_2^c,\ldots$ unabhängig sind (vgl. Übungsaufgabe 4.3), ergibt sich somit
  

  $$P\bigl(\bigcap\limits_{n=k}^{k+l}A_n^c\bigr) = \prod\limits_{n=k}^{k+l}(1-P(A_n))$$

  $$\le \exp\bigl( -\sum\limits_{n=k}^{k+l} P(A_n)\bigr)\,.$$

  
  

• Aus (20) folgt, dass bei festem $k$ die rechte Seite für $l\to\infty$ gegen 0 strebt.
• Aus Korollar 2.2 ergibt sich somit, dass
  $$P\bigl(\bigcap\limits_{n=k}^\infty A_n^c\bigr)=0$$

• bzw.
  $$P\bigl(\bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcap\limits_{n=k}^\infty A_n^c\bigr)=0\,.$$

• Damit ist (21) bewiesen.
  
  $\Box$