Definition, Verteilung und Verteilungsfunktion

Bei Anwendungen besteht oft die Notwendigkeit, nicht nur eine Kennzahl $X(\omega)$, sondern gleichzeitig mehrere Kennzahlen $X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega)$ von $\omega \in \Omega$ zu betrachten.

Beispiele

 

1. zweimaliges Würfeln
   • Als Grundraum wählen wir so wie bisher $\Omega =\{(i,j):1\leq i,j\leq 6\}$, vgl. Abschnitt 2.4.1.
   • Sei $X:\Omega\to\{0,1,2\}$ bzw. $Y:\Omega\to\{0,1,2\}$ die (zufällige) Anzahl, mit der die Augenzahl ,,6'' bzw. ,,1'' beim zweimaligen Würfeln erzielt wird.
   • Dann gilt für die Wahrscheinlichkeiten $P(X=x,Y=y)$ bzw. für die Einzelwahrscheinlichkeiten $P(X=x)$ und $P(Y=y)$ von $X$ und $Y$:

     
     
     

     		$y$
     $P(X=x,Y=y)$		$0$	$1$	$2$	$P(X=x)$
     	$0$	$\frac{16}{36}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{1}{36}$	$\frac{25}{36}$
     $x$	$1$	$\frac{8}{36}$	$\frac{2}{36}$	$0$	$\frac{10}{36}$
     	$2$	$\frac{1}{36}$	$0$	$0$	$\frac{1}{36}$
     $P(Y=y)$		$\frac{25}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{1}{36}$

     
     
     
   • Aus der Tabelle kann man auch die Einzelwahrscheinlichkeiten der Summe $X+Y$ erhalten. Beispielsweise gilt
     $$P(X+Y=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=\frac{8}{36}+\frac{8}{36}=\frac{16}{36}\;.$$

   • Analog ergibt sich
     $$P(X+Y=0)=\frac{16}{36}\;,\qquad P(X+Y=2)=\frac{4}{36}$$
     bzw.
     $$P(X\cdot Y=1)=\frac{2}{36}\;,\qquad P(X\cdot Y=0)=\frac{34}{36}\;.$$

2. Analyse von Kommunikationsnetzen
   • Betrachten ein Kommunikationsnetz mit $n$ Komponenten.
   • Sei $\Omega=\Omega_1\times\ldots\times\Omega_n$, wobei $\Omega$ die Menge aller möglichen Momentanzustände $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_n)$ des Netzes und $\Omega_i$ die Menge aller möglichen Momentanzustände $\omega_i$ der $i$-ten Komponente bezeichnet; $i=1,\ldots,n$.
   • Dann kann beispielsweise durch die Abbildung $\omega\to X_i(\omega)$ die Belastung $X_i(\omega)$ der $i$-ten Komponente in Abhängigkeit vom Momentanzustand $\omega$ des Netzes modelliert werden.
   • Die (globale) Belastung des gesamten Netzes kann dann durch den Vektor $(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega))$ beschrieben werden.

Die gleichzeitige Betrachtung mehrerer Kennzahlen $X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega)$ von $\omega \in \Omega$ führt zum Begriff des Zufallsvektors.

Definition

$\;$ Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und sei $X_1,\ldots,X_n$ eine beliebige Folge von Zufallsvariablen $X_i:\Omega\to\mathbb{R}$; $i=1,\ldots,n$.

• Die Abbildung $X=(X_1,\ldots,X_n)$ von $\Omega$ nach $\mathbb{R}^n$ heißt dann $n$-dimensionaler Zufallsvektor mit den Komponenten $X_1,\ldots,X_n$.
• Die Verteilung des Zufallsvektors $X$ ist die Mengenfunktion $P_{X}:\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\rightarrow [0,1]$ mit

  $$P_{X}(B)=P\left( \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\in B\right) \qquad\forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\,.$$ (20)

  
  

• Die Funktion $F_X:\mathbb{R}^n\to[0,1]$ mit

  $$F_X(x_1,\ldots,x_n)=P(X_1\leq x_1,\ldots,X_n\leq x_n)$$ (21)

  
  
  heißt (gemeinsame bzw. multivariate) Verteilungsfunktion des Zufallsvektors $X=(X_1,\ldots,X_n)$.

Theorem 3.7   Die Abbildung $X:\Omega\to\mathbb{R}^n$ ist genau dann ein Zufallsvektor, wenn

$$\left\{ \omega :\omega \in \Omega ,X(\omega )\in B\right\} \in \mathcal{F}\qquad \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n )\,.$$ (22)

Die Verteilung $P_X$ von $X$ wird eindeutig durch die Verteilungsfunktion $F_{X}$ von $X$ bestimmt.

Der Beweis ist analog zum Beweis der Theoreme 3.1 und 3.4. Er wird deshalb weggelassen.