Weitere Beispiele von Zufallsvektoren

1. $n$-maliger Münzwurf
   • Betrachten den in Abschnitt 3.2.1 eingeführten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ mit der Grundmenge
     $$\Omega =\Omega _{1}\times \ldots \times \Omega _{n} =\left\{\omega=(\omega _{1},\, \ldots ,\, \omega _{n}),\, \omega _{i}\in \{0,\, 1\}\right\}$$

   • bei identischen Erfolgswahrscheinlichkeiten $a_1=\ldots=a_n=p$;
   • Sei $X=$ Anzahl der Erfolge bei $n$ Versuchen. Dann ist $X$ binomialverteilt, d.h.
     $$p_{k}=P(X=k)={n\choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,\ldots,n\,.$$

   • Außerdem betrachten wir die (zufällige) Nummer Y desjenigen Versuches, bei dem zum ersten Mal ein Erfolg eintritt, d.h.
     $$Y(\omega )=\left\{ \begin{array}{cc} \inf \{i\geq 1:\, \omega _{i... ... }X(\omega )\geq 1\\ n+1\,, & \textrm{falls }X(\omega )=0 \end{array}\right.$$

   • Gesucht sind die Einzelwahrscheinlichkeiten des Zufallsvektors $(X,Y)$:
     $$p(x,y)=P(X=x,Y=y)$$   für $0\leq x\leq n,\, 1\leq y\leq n+1$$$$$

   • Offenbar gilt $p(0,n+1)=(1-p)^{n}$ und $p(0,y)=0$ für $1\leq y\leq n$.
   • Sei jetzt $X(\omega)=x\geq 1$ und $Y(\omega )=y$, d.h., $\omega _{i}=0$ für $i<y$ und $\omega _{y}=1$, und es müssen genau $x-1$ Einsen unter $\omega _{y+1},\, \ldots ,\, \omega _{n}$ sein.
   • Dafür gibt es ${n-y\choose x-1}$ Möglichkeiten, falls $x-1\le n-y$, und 0 Möglichkeiten, falls $x-1>n-y$.
   • Also ist
     $$p(x,y)=\left\{\begin{array}{cc} \displaystyle {n-y\choose x-1}p^x... ...box{falls $x-1\le n-y$,}\\ 0\,, & \mbox{falls $x-1>n-y$.} \end{array}\right.$$

   • Spezialfall. Sei jetzt $n=3$ und $p=\frac{1}{2}$. Dann sind die Wahrscheinlichkeiten $P(X=x,Y=y)$ bzw. die (Rand-)Wahrscheinlichkeiten $P(X=x)$ und $P(Y=y)$ in der folgenden Tabelle gegeben:

     
     
     

     		$y$
     $P(X=x,Y=y)$		$1$	$2$	$3$	$4$	$P(X=x)$
     	$0$	$0$	$0$	$0$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$
     $x$	$1$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$0$	$\frac{3}{8}$
     	$2$	$\frac{2}{8}$	$\frac{1}{8}$	$0$	$0$	$\frac{3}{8}$
     	$3$	$\frac{1}{8}$	$0$	$0$	$0$	$\frac{1}{8}$
     $P(Y=y)$		$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

     
     
     
2. zweidimensionale integrierte Gleichverteilung
   • Sei $X=(X_1,X_2)$ ein absolutstetiger Zufallsvektor mit der (gemeinsamen) Dichte
     $$f_X(x_1,x_2)= \left\{ \begin{array}{cc} 4x_1 x_2\,, & \mbox{falls $0\leq x_1,\, x_2\leq 1$}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$

   • Für die Randdichten folgt dann aus (25), dass
     $$f_{X_1}(x_1)=\int_0^1f_X(x_1,x_2)\, dx_2=4x_1\cdot\frac{1}{2}=2x_1\qquad\forall x_1\in[0,1]$$
     und analog
     $$f_{X_2}(x_2)=\int_0^1f_X(x_1,x_2)\, dx_1=2x_2\qquad\forall x_2\in[0,1]$$

   • Wir wollen nun noch die Wahrscheinlichkeit $P(X_1\leq 2 X_2)$ berechnen. Wegen (24) gilt
     

     $$P (X_{1}\leq 2X_{2}) = P_X\bigl((x_1,x_2): 0\le x_1,x_2\le 1,\, x_1\le 2 x_2\bigr)$$

     $$= \int\limits ^{\frac{1}{2}}_{0}\int\limits^{2x_{2}}_{0}4x_{1}x_{2}... ...\int\limits ^{1}_{\frac{1}{2}}\int\limits^{1}_{0} 4x_{1}x_{2}\, dx_{1}\, dx_{2}$$

     $$= \int\limits ^{\frac{1}{2}}_{0}4x_{2}\left[ \frac{x_{1}^{2}}{2}\ri... ...\limits ^{1}_{\frac{1}{2}}4x_{2}\left[ \frac{x_{1}^{2}}{2}\right]^{1}_{0}dx_{2}$$

     $$= 8\left[ \frac{x_{2}^{4}}{4}\right]^{\frac{1}{2}}_{0} +2\left[ \frac{x^{2}_{2}}{2}\right] ^{1}_{\frac{1}{2}}=\frac{7}{8}\;.$$