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Beispiele: Zufallsvektoren mit unabhängigen
Komponenten
- -maliger Münzwurf
- Betrachten den in Abschnitt 3.2.1 eingeführten
Wahrscheinlichkeitsraum
mit der Grundmenge
und dem Wahrscheinlichkeitsmaß , das durch
|
(31) |
gegeben ist, wobei
.
- Betrachten die Zufallsvariablen
, die gegeben seien durch die
Projektion
für
.
- Aus (29) und (31) folgt unmittelbar,
dass
unabhängige Zufallsvariablen sind.
- Man kann jedoch auch in diesem Modell Zufallsvariablen
konstruieren, die nicht unabhängig sind. Sei nämlich
, und sei
gegeben durch
- Dann sind und nicht unabhängig, denn es gilt
- zweidimensionale Normalverteilung
- Betrachten zwei unabhängige Zufallsvariablen ,
die standardnormalverteilt sind. D.h.,
- Für die (gemeinsame) Dichte
des
Zufallsvektors
gilt
- Man sagt dann, dass auch der Zufallsvektor
standardnormalverteilt ist.
- Verallgemeinerung:
Sei
, und sei
ein absolutstetiger
Zufallsvektor mit der Dichte
- Dann gilt für die (Rand-)Dichte
von
- Durch die Substitution
bzw.
ergibt sich also
- Analog gilt
- Die Komponenten des Zufallsvektors
sind also für jedes
standardnormalverteilt.
- Beachte jedoch, dass und nur dann unabhängig sind,
wenn . Denn für gilt
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Ursa Pantle
2004-05-10