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Anwendungsbeispiele
- Buffonsches Nadelexperiment
- Betrachten das System
von parallelen und äquidistanten (vertikalen) Geraden
in der euklidischen Ebene
; vgl. auch
Abschnitt 2.5.
- Werfen eine Nadel mit der Länge 1
,,willkürlich'' in die Ebene
, wobei
mit ,,willkürlich'' das folgende
stochastische Modell gemeint ist.
- Betrachten zwei Zufallsvariablen und ,
die die zufällige Lage der Nadel beschreiben, wobei
- der (orthogonale) Abstand des Nadelmittelpunktes
zur nächsten linksliegenden Nachbargeraden von ist,
- der Winkel ist, den die Nadel zum Lot auf die
Geraden von bildet, und
- die Zufallsvariablen und
unabhängig und gleichverteilt seien auf den Intervallen
bzw.
.
- Bestimmen die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses
dass die willkürlich geworfene Nadel eine der Geraden
von schneidet.
- Es gilt
- Aus der Gleichung
ergibt sich nun eine Methode zur
experimentellen Bestimmung der Zahl , die auf dem Gesetz der
großen Zahlen beruht.
- Seien
unabhängige und
identisch verteilte Zufallsvektoren (mit der gleichen
Verteilung wie ), die wir als
das Ergebnis von
(unabhängig durchgeführten) Nadelexperimenten auffassen.
- Dann sind
mit
unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert
.
- Aus Theorem 5.15 ergibt sich also, dass das
arithmetische Mittel
fast sicher gegen die Zahl strebt.
- D.h., für große ist mit
hoher Wahrscheinlichkeit eine gute Näherung der Zahl
.
- Computer-Algorithmus zur Bestimmung von
- Ein einfacher Algorithmus zur Monte-Carlo-Simulation der Zahl
hängt mit dem folgenden geometrischen Sachverhalt
zusammen.
- Betrachten das Quadrat
und den Kreis
- Werfen einen Punkt willkürlich in die Menge
.
- D.h., wir betrachten zwei unabhängige
Zufallsvariablen und , die jeweils
gleichverteilt auf dem Intervall sind.
- Bestimmen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
dass der ,,zufällige Punkt'' in
liegt.
- Es gilt
wobei , den Flächeninhalt von bzw.
bezeichnet.
- Ähnlich wie beim Buffonschen Nadelexperiment
ergibt sich nun aus der Gleichung
eine weitere Methode zur experimentellen Bestimmung der Zahl ,
die auf dem Gesetz der großen Zahlen beruht und
die sich leicht implementieren lässt.
- Seien
unabhängige und
identisch verteilte Zufallsvektoren (mit der gleichen
Verteilung wie ), die wir als
das Ergebnis von
(unabhängig durchgeführten) Experimenten auffassen.
- Dann sind
mit
unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert
.
- Aus Theorem 5.15 ergibt sich also, dass das
arithmetische Mittel
fast sicher gegen die Zahl strebt.
- D.h., für große ist mit
hoher Wahrscheinlichkeit eine gute Näherung der Zahl
.
- Beachte:
Bei der Implementierung dieser Monte-Carlo-Simulation
kann man wie folgt vorgehen.
- Ein JAVA-Applet, mit dem dieses Simulationsverfahren
selbst durchgeführt werden kann, findet man beispielsweise
auf der Internet-Seite:
- Numerische Berechnung von Integralen durch Monte-Carlo-Simulation
- Probabilistischer Beweis des Approximationssatzes von Weierstrass
- Eine Anwendung in der Zahlentheorie
- Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum
, wobei die
Gleichverteilung auf
sei.
- Die Dezimalbruchentwicklung
ist (bis auf eine abzählbare Ausnahmemenge) für fast jedes
eindeutig festgelegt.
- Dabei heißt
normal, wenn in der
Dezimalbruchentwicklung
jede endliche Ziffernfolge
mit der relativen
Häufigkeit vorkommt.
- Wir zeigen, dass fast jede Zahl
normal ist,
- d.h., dass für jedes
und für jedes
|
(36) |
für fast jedes
gilt.
- Sei
die -te Ziffer in der
Dezimalbruchentwicklung von .
- Weil für jedes und jedes
die Menge
ein Intervall der Länge ist, gilt
- Deshalb sind
unabhängige und identisch verteilte
Zufallsvariable, deren Verteilung die (diskrete) Gleichverteilung
auf
ist.
- Aus Theorem 5.15 ergibt sich dann sofort die
Gültigkeit von (36) für .
- Sei nun .
- Für
, für
und für setzen wir
- Für jedes
sind
unabhängige (wegen Theorem 3.18) und identisch
verteilte Zufallsvariablen mit
und somit
.
- Aus Theorem 5.15 ergibt sich also, dass
|
(37) |
für jedes
, wobei
eine Ausnahmemenge ist mit
|
(38) |
- Für jedes gibt es nur endlich viele und endlich viele
.
- Weil deshalb
die Vereinigung von abzählbar vielen Mengen ist, ergibt sich aus
(38), dass auch .
- Wegen (37) gilt nun
für beliebige
, ,
und
.
- Hieraus folgt, dass
für beliebige
, und
.
- Erneuerungsprozesse
- Seien
unabhängige und
identisch verteilte Zufallsvariable, die nur positive Werte
annehmen können;
.
- Die Zufallsvariable kann man als Modell für die zufällige
Zeitdauer deuten, die zwischen dem -ten und -ten
Eintreten eines biologischen, ökonomischen oder technischen
Systems in einen bestimmten (kritischen) Systemzustand vergeht.
- Im Englischen spricht man dann von interoccurrence time.
- Beispielsweise kann die zufällige Zeitdauer zwischen dem
-ten und -ten Ausfallzeitpunkt eines technischen Systems
sein.
- Falls das System unmittelbar nach jedem Ausfall vollständig
repariert wird, dann kann man
als den -ten
Erneuerungszeitpunkt des Systems auffassen.
- Für jedes ist
die zufällige Anzahl von Erneuerungen im Intervall .
- Die Familie
von Zufallsvariablen heißt Erneuerungszählprozess.
- Aus Theorem 5.15 folgt, dass mit
Wahrscheinlichkeit 1
|
(39) |
- Dies ergibt sich aus den folgenden Überlegungen.
- Für jedes gilt
|
(40) |
denn aus Theorem 5.15 folgt, dass
mit Wahrscheinlichkeit 1.
- Beachte. Man kann (40) auch auf direktem Wege
beweisen, denn es gilt
weil
für jedes hinreichend große
.
- Außerdem ist
für jedes
monoton
nichtfallend in , d.h., der Grenzwert
existiert für jedes
.
- Darüber hinaus gilt mit Wahrscheinlichkeit 1
|
(41) |
weil
- Aus Theorem 5.15 folgt also, dass mit
Wahrscheinlichkeit 1
|
(42) |
- Außerdem gilt für beliebige und
|
(43) |
- Folglich gilt
bzw.
- Hieraus und aus (42) ergibt sich nun die Gültigkeit
von (39).
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Ursa Pantle
2004-05-10