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Anwendungsbeispiele
Wir diskutieren nun eine Reihe von Anwendungsbeispielen des
zentralen Grenzwertsatzes, der in Theorem 5.16 bzw.
Korollar 5.4 gegeben ist.
- maximaler Gewinn bei -maligem Münzwurf
- Seien
unabhängige und identisch
verteilte Zufallsvariablen mit
- Wir deuten als den zufälligen Gewinn beim -ten Münzwurf
und betrachten die maximale (kumulative) Gewinnsumme
die beim -maligen Werfen einer Münze erzielt wird, wobei
.
- Es gilt
|
(68) |
- D.h., die normierten Maxima
streben in Verteilung
gegen die sogenannte asymmetrische (Standard-)
Normalverteilung.
- Dies kann man sich wie folgt überlegen: Für jedes
gilt
- Außerdem gilt
denn
- Also gilt für jedes
- Hieraus folgt, dass für jedes und
|
(69) |
- Weil
und
, ergibt sich aus
Theorem 5.16, dass
und dass es für jedes
ein
gibt, so
dass
für jedes , wobei sich die letzte Ungleichung aus
(45) und durch die erneute Anwendung von
Theorem 5.16 ergibt.
- Hieraus und aus (69) ergibt sich nun die Behauptung
(68).
- fehlerbehaftete Messungen
- Summen mit einer zufälligen Anzahl von Summanden
- Erneuerungsprozesse
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Ursa Pantle
2004-05-10