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Anwendungsbeispiel: Dichteschätzung
- Beachte
-
Wegen (115) können wir
für
hinreichend großes als Schätzer des Funktionswertes
auffassen; .
- Beweis von Theorem 5.25
-
- Die Gültigkeit von (115) ergibt sich aus der
Tschebyschew-Ungleichung (4.72) und aus Satz von
Slutsky (vgl. Theorem 5.9).
- Und zwar sei für beliebige
und
|
(117) |
wobei
- Die so definierten Zufallsvariablen
sind
unabhängig und identisch verteilt (wobei ihre Verteilung jedoch
von abhängt), und es gilt
- Außerdem gilt die Identität
|
(118) |
bzw.
|
(119) |
- Weil
und |
(120) |
ergibt sich aus (119) und aus der
Tschebyschew-Ungleichung (4.72), dass
|
(121) |
- Außerdem gilt
- Hieraus und aus (120) - (121) ergibt
sich nun die Gültigkeit von (115) mit Hilfe der
Teilaussage 2 von Theorem 5.8.
- Beachte
-
Wenn die Dichte
stetig ist, dann kann man mit
Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes von Ljapunow (vgl.
Theorem 5.23) ein (zufälliges) Konfidenzintervall konstruieren, in dem der unbekannte
Funktionswert für große mit einer (näherungsweise
vorgegebenen) ,,großen'' Wahrscheinlichkeit
liegt.
Theorem 5.26
Die Dichte
sei stetig, und es gelte
. Dann gilt für jedes
und für
jedes
|
(122) |
wobei
und
- Beweis
-
- Aus (120) ergibt sich, dass für
- Die Bedingungen von Theorem 5.23 sind also erfüllt
für .
- Für die in (117) definierten Zufallsvariablen
gilt deshalb
|
(123) |
- Aus der Identität (118) und aus (123)
ergibt sich nun, dass für große
- Wegen (120) ergibt sich hieraus und aus dem Satz von
Slutsky (vgl. Theorem 5.9 bzw. 5.11),
dass
- Auf die gleiche Weise ergibt sich nun hieraus und aus
(115), dass für große
- Durch Umstellen dieser Ungleichungskette nach ergibt sich
schließlich das Konfidenzintervall
für den unbekannten Funktionswert .
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Ursa Pantle
2004-05-10