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Einfaktorielle Varianzanalyse; ANOVA-Nullhypothese

Beachte
 


Wir zeigen, dass die klassische ANOVA-Nullhypothese $ H_0:\theta_1=\ldots=\theta_k$ mit Hilfe von so genannten Kontrasten ausgedrückt werden kann.


Lemma 3.1   $ \;$ Seien $ \theta_1,\ldots,\theta_k\in\mathbb{R}$ beliebige relle Zahlen. Für die Gültigkeit von $ \theta_1=\ldots=\theta_k$ ist dann notwendig und hinreichend, dass

$\displaystyle \sum_{i=1}^k a_i\theta_i=0 \qquad\forall\;{\mathbf{a}}\in\mathcal{A} .$ (6)

Beweis
 

Beachte
 


Durch die folgende Quadratsummenzerlegung ergibt sich eine anschauliche Deutung von Zähler und Nenner der in (8) betrachteten Testgröße $ \sup_{{\mathbf{a}}\in\mathcal{A}}T_{{\mathbf{a}}}^2$, vgl. auch Theorem 2.9.

Theorem 3.1   $ \;$ Es gilt

$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{n_i}\bigl(Y_{ij}- \overli...
..._{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{n_i}\bigl(Y_{ij}- \overline Y_{i\cdot} \bigr)^2 .$ (9)

Beweis
$ \;$ Durch Ausmultiplizieren der linken Seite von (9) ergibt sich, dass
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{n_i}\bigl(Y_{ij}-
\overline Y_{\cdot\cdot}\bigr)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{n_i}\bigl((Y_{ij}-\overline
Y_{i\cdot})+(\overline Y_{i\cdot}-
\overline Y_{\cdot\cdot})\bigr)^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{n_i}\bigl((Y_{ij}-\overli...
...rline Y_{\cdot\cdot})+ (\overline Y_{i\cdot}-
\overline Y_{\cdot\cdot})^2\bigr)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{n_i}(Y_{ij}-\overline
Y_{...
...\sum\limits_{i=1}^{k} n_i
(\overline Y_{i\cdot}-
\overline Y_{\cdot\cdot})^2 .$  


 
  $ \Box$


Beachte
 


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Hendrik Schmidt 2006-02-27