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Spur und Rang
Unmittelbar aus der Definitionsgleichung (1) der
Matix-Spur und aus der Definition der Matrix-Multiplikation
ergibt sich der folgende Hilfssatz.
Lemma 1.1
Sei
eine beliebige
Matrix und
eine beliebige
Matrix. Dann gilt
.
Man kann zeigen, dass eine quadratische Matrix
genau dann
invertierbar ist, wenn
vollen Rang hat bzw. wenn
gilt. In diesem Zusammenhang ist auch das folgende
Rsultat nützlich.
Lemma 1.2
Sei
eine
Matrix mit
und
. Dann gilt
.
- Beweis
-
- Es ist klar, dass der Rang
der
Matrix
nicht größer als sein kann.
- Wir nehmen nun an, dass
. Dann gibt es
einen Vektor
, so dass
und
.
- Hieraus folgt, dass auch
bzw.
, d.h.
.
- Dies ist jedoch ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass
.
Außerdem kann man zeigen, dass die beiden folgenden Eigenschaften
von Spur bzw. Rang gelten.
Lemma 1.3
Seien
und
beliebige
Matrizen.
Dann gilt stets
.
Wenn
idempotent und symmetrisch ist, d.h.,
und
, dann gilt außerdem
.
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Hendrik Schmidt
2006-02-27