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Spur und Rang

Unmittelbar aus der Definitionsgleichung (1) der Matix-Spur und aus der Definition der Matrix-Multiplikation ergibt sich der folgende Hilfssatz.

Lemma 1.1   $ \;$ Sei $ {\mathbf{C}}$ eine beliebige $ n\times m$ Matrix und $ {\mathbf{D}}$ eine beliebige $ m\times
n$ Matrix. Dann gilt $ { {\rm sp}}({\mathbf{C}}{\mathbf{D}})={ {\rm sp}}({\mathbf{D}}{\mathbf{C}})$.

Man kann zeigen, dass eine quadratische Matrix $ {\mathbf{A}}$ genau dann invertierbar ist, wenn $ {\mathbf{A}}$ vollen Rang hat bzw. wenn $ \det{\mathbf{A}}\not=0$ gilt. In diesem Zusammenhang ist auch das folgende Rsultat nützlich.

Lemma 1.2   Sei $ {\mathbf{A}}$ eine $ n\times m$ Matrix mit $ n\ge m$ und $ { {\rm rg}}({\mathbf{A}})=m$. Dann gilt $ { {\rm rg}}({\mathbf{A}}^\top{\mathbf{A}})=m$.

Beweis
 

Außerdem kann man zeigen, dass die beiden folgenden Eigenschaften von Spur bzw. Rang gelten.

Lemma 1.3   $ \;$ Seien $ {\mathbf{A}}$ und $ {\mathbf{B}}$ beliebige $ n\times n$ Matrizen. Dann gilt stets $ { {\rm sp}}({\mathbf{A}}-{\mathbf{B}})={ {\rm sp}}({\mathbf{A}})-{ {\rm sp}}({\mathbf{B}}) $. Wenn $ {\mathbf{A}}$ idempotent und symmetrisch ist, d.h., $ {\mathbf{A}}={\mathbf{A}}^2$ und $ {\mathbf{A}}={\mathbf{A}}^\top$, dann gilt außerdem $ { {\rm sp}}({\mathbf{A}})={ {\rm rg}}({\mathbf{A}})$.


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Hendrik Schmidt 2006-02-27