Lösung.

  1. Es sei
    $ \mbox{$\displaystyle g \;:=\;(1+\text{i}\mathbb{R})\cup\{\infty\} \;\;\text{mit der Orientierung}\;\; (\infty,1+\text{i},1)\;. $}$
    Also liegt die Menge
    $ \mbox{$\displaystyle H \;:=\; \{z\in\mathbb{C}\;\vert\; \text{Re }z >1 \} $}$
    links von $ \mbox{$g$}$ . Die gesuchte Menge $ \mbox{$T(H)$}$ ist also das links von $ \mbox{$T(g)$}$ liegende Gebiet.

    Es gilt

    $ \mbox{$\displaystyle T(\infty)\;=\;\frac{1}{2}\;,\;\; T(1+\text{i})\;=\;\frac{2+5\text{i}}{29}\;,\;\; T(1) \;=\;0\;. $}$
    Daher ist $ \mbox{$T(g)$}$ der verallgemeinerte Kreise Gerade mit der Orientierung $ \mbox{$(\frac{1}{2},\frac{2+5\text{i}}{29},0)$}$ . Wir wollen $ \mbox{$T(g)$}$ noch genauer bestimmen. Es sei
    $ \mbox{$\displaystyle h \;:=\; \mathbb{R}\cup\{\infty\}\;. $}$
    Wegen $ \mbox{$T(0)=-\frac{1}{3}$}$ und obigem gilt $ \mbox{$T(h)=h$}$ . Ferner schneidet $ \mbox{$g$}$ den verallgemeinerten Kreis $ \mbox{$h$}$ senkrecht in $ \mbox{$1$}$ . Daher schneidet sich $ \mbox{$T(g)$}$ und $ \mbox{$h$}$ senkrecht in $ \mbox{$T(1)=0$}$ . Somit ist $ \mbox{$T(g)$}$ ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der reellen Achse in der Mitte zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$\frac{1}{2}$}$ liegt, d.h. es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle T(g) \;=\; \left\{z\in\mathbb{C}\;\vert\; \left\vert z-\frac{1}{4}\right\vert=\frac{1}{4}\right\}\;. $}$
    Mit der Orientierung von $ \mbox{$T(g)$}$ folgt, daß
    $ \mbox{$\displaystyle T(H) \;=\; \left\{z\in\mathbb{C}\;\vert\; \left\vert z-\frac{1}{4}\right\vert<\frac{1}{4}\right\}\;. $}$

  2. Die Möbiustransformation $ \mbox{$T$}$ wird durch die Matrix $ \mbox{$\begin{pmatrix}1 &-1\\ 2&\phantom{-}3\end{pmatrix}$}$ beschrieben, also wird $ \mbox{$T^{-1}$}$ durch die Matrix $ \mbox{$\begin{pmatrix}\phantom{-}3&1\\ -2&1\end{pmatrix}$}$ beschrieben. Es folgt also
    $ \mbox{$\displaystyle T^{-1}(z) \;=\; \frac{3z+1}{-2z+1}\;. $}$
    Die Menge $ \mbox{$\mathbb{E}:=\{z\in\mathbb{C}\;\vert\; \vert z\vert<1\}$}$ liegt links des verallgemeinerten Kreises
    $ \mbox{$\displaystyle g \;:=\; \{z\in\mathbb{C}\;\vert\; \vert z\vert=1\} \;\;\text{mit der Orientierung}\;\; (1,\text{i},-1)\;. $}$
    Die gesuchte Menge $ \mbox{$T^{-1}(\mathbb{E})$}$ liegt also links des verallgemeinerten Kreises $ \mbox{$T^{-1}(g)$}$ mit der Orientierung
    $ \mbox{$\displaystyle (T^{-1}(1),T^{-1}(\text{i}),T^{-1}(-1)) \;=\; (-4,-1+\text{i},-\frac{2}{3})\;. $}$
    Nun schneiden sich $ \mbox{$g$}$ und $ \mbox{$\mathbb{R}\cup\{\infty\}$}$ senkrecht in $ \mbox{$1$}$ und $ \mbox{$-1$}$ , also schneiden sich $ \mbox{$T^{-1}(g)$}$ und $ \mbox{$T^{-1}(\mathbb{R}\cup\{\infty\})=\mathbb{R}\cup\{\infty\}$}$ senkrecht in $ \mbox{$-4$}$ und $ \mbox{$-\frac{2}{3}$}$ . Daher ist $ \mbox{$T^{-1}(g)$}$ ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der reellen Achse in der Mitte zwischen $ \mbox{$-4$}$ und $ \mbox{$\frac{-2}{3}$}$ liegt, d.h. es folgt
    $ \mbox{$\displaystyle T^{-1}(g) \;=\; \left\{z\in\mathbb{C}\;\vert\; \left\vert z+\frac{7}{3}\right\vert=\frac{5}{3}\right\}\;. $}$
    Mit der Orientierung von $ \mbox{$T^{-1}(g)$}$ folgt, daß
    $ \mbox{$\displaystyle T^{-1}(\mathbb{E}) \;=\; \left\{z\in\mathbb{C}\;\vert\; \left\vert z+\frac{7}{3}\right\vert>\frac{5}{3}\right\}\;. $}$