Beispiel.

Es seien $ \mbox{$G \subseteq \mathbb{C}$}$ ein Gebiet und $ \mbox{$f:G \to \mathbb{C}$}$ eine holomorphe Funktion.

  1. Es seien $ \mbox{$z,z_0 \in G$}$ derart, daß die Verbindungsstrecke $ \mbox{$[z,z_0]$}$ in $ \mbox{$G$}$ enthalten ist. Zeige die Mittelwertungleichung
    $ \mbox{$\displaystyle \left\vert f(z) - f(z_0) \right\vert \;\le\; \sup\{\vert f'(\xi)\vert \;:\; \xi \in [z,z_0] \}\cdot\vert z-z_0\vert \;. $}$
  2. Es sei $ \mbox{$f'(z)=0$}$ für alle $ \mbox{$z \in G$}$ . Zeige, daß $ \mbox{$f$}$ konstant ist.