Kurvenintegrale.

Das Riemannintegral einer komplexwertigen Funktion.

Eine Funktion $ \mbox{$f:[a,b] \to \mathbb{C}$}$ heißt Riemann-integrierbar, falls die Funktionen $ \mbox{$\text{Re }f :[a,b] \to \mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$\text{Im }f :[a,b] \to \mathbb{R}$}$ Riemann-integrierbar sind. In diesem Falle heißt

$ \mbox{$\displaystyle \int_a^b f(t)\; \text{d}t\;:=\; \int_a^b\text{Re } f(t)\; \text{d}t + \text{i}\int_a^b\text{Im } f(t)\; \text{d}t $}$
das Riemannintegral von $ \mbox{$f$}$ .

Definition.

Es sei $ \mbox{$M\subseteq\mathbb{C}$}$ gegeben. Unter einer Kurve in $ \mbox{$M$}$ verstehen wir eine stetige Abbildung $ \mbox{$\gamma:[a,b]\to M$}$ , wobei $ \mbox{$[a,b]\subseteq\mathbb{R}$}$ ein kompaktes Intervall sei. Der Träger von $ \mbox{$\gamma$}$ ist definiert durch

$ \mbox{$\displaystyle \mathcal{T}(\gamma) \;:=\; \gamma([a,b])\;. $}$

Die Kurve $ \mbox{$\gamma$}$ heißt Weg, falls es eine Unterteilung

$ \mbox{$\displaystyle a\;=\; x_0\;<\;x_1\;<\; \ldots \;<\;x_n\;=\;b $}$
des Intervalls $ \mbox{$[a,b]$}$ gibt, so daß die eingeschränkte Kurve $ \mbox{$\gamma \vert _{[x_i,x_{i+1}]}$}$ stetig differenzierbar ist für $ \mbox{$i=0,\ldots,n-1$}$ . Die Länge des Weges $ \mbox{$\gamma$}$ ist definiert durch
$ \mbox{$\displaystyle \ell(\gamma)\;:=\; \int_a^b \vert\dot{\gamma}(t)\vert \;... ...sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_i}^{x_{i+1}}\vert\dot{\gamma}(t)\vert \;\text{d}t\;. $}$
Dabei sei $ \mbox{$\dot{\gamma}:=\dot{\varrho}+\text{i}\dot{\sigma}$}$ mit $ \mbox{$\varrho:=\text{Re }\gamma$}$ und $ \mbox{$\sigma:=\text{Im }\gamma$}$ .

Es sei nun $ \mbox{$\gamma:[a,b]\to M$}$ ein Weg und $ \mbox{$f:M \to \mathbb{C}$}$ eine stetige Funktion. Dann definieren wir das Kurvenintegral von $ \mbox{$f$}$ längs $ \mbox{$\gammma$}$ durch

$ \mbox{$\displaystyle \int_\gamma f \;:=\; \int_\gamma f(z)\; \text{d}z \;:=\;... ..._{i=0}^{n-1} \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(\gamma(t))\dot{\gamma}(t) \;\text{d}t\;. $}$
Dabei sei $ \mbox{$a= x_0<x_1< \ldots <x_n=b$}$ eine beliebige Unterteilung mit der Eigenschaft, daß $ \mbox{$\gamma \vert _{[x_i,x_{i+1}]}$}$ stetig differenzierbar ist für $ \mbox{$i=0,\ldots,n-1$}$ .

Regeln.

Es seien $ \mbox{$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$}$ , $ \mbox{$\gamma$}$ ein Weg in $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ und $ \mbox{$f: \mathcal{T}(\gamma) \to \mathbb{C}$}$ eine stetige Funktion. Dann gelten folgende Regeln.

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{ll} \displaystyle\int_\gamma \alpha f+\bet... ...t f(\mathcal{T}(\gamma))\vert & \text{(Standardabsch\uml atzung)} \end{array}$}$

Es sei $ \mbox{$G \subseteq \mathbb{C}$}$ eine offene Menge. Es sei $ \mbox{$F:G \to \mathbb{C}$}$ eine Stammfunktion von $ \mbox{$f:G \to \mathbb{C}$}$ , d.h. es gelte $ \mbox{$F'=f$}$ , und $ \mbox{$\gamma:[a,b] \to G$}$ sei ein Weg. Dann gilt das Analogon zum Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung

$ \mbox{$\displaystyle \int_\gamma f \;=\; F(\gamma(b))-F(\gamma(a))\;. $}$

Holomorphie von Kurvenintegralen.

Es seien $ \mbox{$G \subseteq \mathbb{C}$}$ eine offene Menge und $ \mbox{$\gamma$}$ ein Weg. Es sei $ \mbox{$f:G\times \mathcal{T}(\gamma) \to \mathbb{C}$}$ eine Funktion. Für jedes feste $ \mbox{$w \in \mathcal{T}(\gamma)$}$ sei die Funktion

$ \mbox{$\displaystyle G \to \mathbb{C}\;,\;\;z \mapsto f(z,w) $}$
holomorph, und die Ableitung
$ \mbox{$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}: G \times \mathcal{T}(\gamma) \to \mathbb{C} $}$
sei stetig. Dann ist die Funktion $ \mbox{$g:G \to \mathbb{C}$}$ , definiert durch
$ \mbox{$\displaystyle g(z)\;:=\;\int_\gamma f(z,w)\;\text{d}w\;, $}$
holomorph, und es gilt
$ \mbox{$\displaystyle g'(z)\;=\;\int_\gamma \frac{\partial f}{\partial z}(z,w)\;\text{d}w\;. $}$

Vertauschung von Grenzwert und Kurvenintegral.

Es sei $ \mbox{$\gamma$}$ ein Weg. Es sei $ \mbox{$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$}$ eine Folge von stetigen Funktionen $ \mbox{$\mathcal{T}(\gamma) \to \mathbb{C}$}$ so, daß die Folge $ \mbox{$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$}$ bzw. die Reihe $ \mbox{$\sum_{n=m}^\infty f_n$}$ gleichmäßig konvergent auf $ \mbox{$\mathcal{T}(\gamma)$}$ sei. Dann gilt

$ \mbox{$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_\gamma f_n \;=\; \int_\gamma \l... ...\sum_{n=m}^\infty \int_\gamma f_n \;=\; \int_\gamma \sum_{n=m}^\infty f_n\;. $}$