Lösung.

Skizze.

\includegraphics[width=8cm]{s1.eps}

Es sei

$ \mbox{$\displaystyle f:\mathbb{C}_-:= \mathbb{C}\setminus S \;\to\; \mathbb{C}\setminus(-\infty,0] \;,\;\; \xi \mapsto \frac{\xi-z_0}{z_0-z_1}\;. $}$
Die Funktion $ \mbox{$f$}$ bildet in der Tat nach $ \mbox{$\mathbb{C}_-$}$ ab, denn wäre $ \mbox{$\frac{\xi-z_0}{z_0-z_1}=:t \in (-\infty,0]$}$ , so gälte $ \mbox{$\xi=z_0+(-t)(z_1-z_0) \in S$}$ .

Wir erinnern daran, daß $ \mbox{$\text{Log}:\mathbb{C}_- \to \mathbb{C}$}$ holomorph ist. Mit der Kettenregel folgt

$ \mbox{$\displaystyle (\text{Log}\circ f)'(\xi)\;=\; \frac{f'(\xi)}{f(\xi)}\;=... ...{1}{\xi-z_0}\;,\;\;\text{f\uml ur alle}\;\; \xi \in \mathbb{C}\setminus S\;. $}$
Also ist $ \mbox{$\text{Log}\circ f$}$ eine Stammfunktion des Integranden $ \mbox{$\frac{1}{\xi-z_0}$}$ , und es folgt
$ \mbox{$\displaystyle \int_\gamma\frac{1}{\xi-z_0}\;\text{d}\xi\;=\;\text{Log}\;\frac{\xi_2-z_0}{z_0-z_1} -\text{Log}\;\frac{\xi_1-z_0}{z_0-z_1}\;. $}$