Lösung.

Wir definieren

$ \mbox{$\displaystyle f_n(z)\;:=\; \int_{1/n}^1 t^{z-1}e^{-t}\;\text{d}t\;,\;\; g_n(z)\;:=\; \int_{1}^n t^{z-1}e^{-t}\;\text{d}t\;. $}$
Wir wollen zeigen, daß $ \mbox{$f_n$}$ und $ \mbox{$g_n$}$ kompakt auf $ \mbox{$G:=\{z \in \mathbb{C} \;\vert\; \text{Re }z>0\}$}$ konvergieren. Dazu sei $ \mbox{$K \subseteq G$}$ kompakt. Es sei $ \mbox{$\varepsilon >0$}$ . Es sei
$ \mbox{$\displaystyle \sigma_0\;:=\; \min\{\text{Re }z \;\vert\; z \in K\}\;. $}$
Dann gilt für $ \mbox{$t \in (0,1]$}$ und $ \mbox{$z \in K$}$
$ \mbox{$\displaystyle \left\vert t^{z-1}e^{-t}\right\vert\;=\; t^{\text{Re }z-1}e^{-t} \;\le\; t^{\sigma_0-1}\;, $}$
und das Integral
$ \mbox{$\displaystyle \int_0^1 t^{\sigma_0-1}\;\text{d}t\;=\; \left[ \frac{t^{\sigma_0}}{\sigma_0}\right]_0^1\;=\;\frac{1}{\sigma_0}\;. $}$
Also konvergiert auch
$ \mbox{$\displaystyle f(z)\;:=\; \lim_{n \to \infty} f_n(z) \;=\; \int_{0}^1 t^{z-1}e^{-t}\;\text{d}t\;. $}$
Wählt man $ \mbox{$N \in \mathbb{N}$}$ so, daß
$ \mbox{$\displaystyle \int_0^{1/n} t^{\sigma_0-1}\;\text{d}t\;<\; \varepsilon $}$
für alle $ \mbox{$n\ge N$}$ , so folgt
$ \mbox{$\displaystyle \vert f(z)-f_n(z)\vert\;=\; \left\vert\int_0^{1/n} t^{z-... ...d}t\right\vert\;\le\;\int_0^{1/n} t^{\sigma_0-1}\;\text{d}t\;<\; \varepsilon $}$
für alle $ \mbox{$z \in K$}$ und alle $ \mbox{$n\ge N$}$ . Also konvergiert $ \mbox{$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$}$ kompakt auf $ \mbox{$G$}$ gegen $ \mbox{$f$}$ .

Es sei

$ \mbox{$\displaystyle \sigma_1\;:=\; \max\{\text{Re }z \;\vert\; z \in K\}\;. $}$
Dann gilt für $ \mbox{$t \in [1,\infty)$}$ und $ \mbox{$z \in K$}$
$ \mbox{$\displaystyle \left\vert t^{z-1}e^{-t}\right\vert\;=\; t^{\text{Re }z-1}e^{-t} \;\le\; t^{\sigma_1-1}e^{-t}\;\le\; c\cdot e^{-t/2}\;, $}$
für eine Konstante $ \mbox{$c>0$}$ , und das Integral
$ \mbox{$\displaystyle \int_1^\infty e^{-t/2}\;\text{d}t\;=\; \left[ -\frac{t^{e^{-t/2}}}{2}\right]_1^\infty\;=\;\frac{e^{-1/2}}{2}\;. $}$
Also konvergiert auch
$ \mbox{$\displaystyle g(z)\;:=\; \lim_{n \to \infty} g_n(z) \;=\; \int_{1}^\infty t^{z-1}e^{-t}\;\text{d}t\;. $}$
Wählt man $ \mbox{$N \in \mathbb{N}$}$ so, daß
$ \mbox{$\displaystyle \int_n^{\infty} e^{-t/2}\;\text{d}t\;<\; \varepsilon $}$
für alle $ \mbox{$n\ge N$}$ , so folgt
$ \mbox{$\displaystyle \vert g(z)-g_n(z)\vert\;=\; \left\vert\int_n^\infty t^{z... ...xt{d}t\right\vert\;\le\;\int_n^{\infty} e^{-t/2}\;\text{d}t\;<\; \varepsilon $}$
für alle $ \mbox{$z \in K$}$ und alle $ \mbox{$n\ge N$}$ . Also konvergiert $ \mbox{$(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$}$ kompakt auf $ \mbox{$G$}$ gegen $ \mbox{$g$}$ .

Nach dem Satz über die Holomorphie von Kurvenintegralen sind $ \mbox{$f_n$}$ und $ \mbox{$g_n$}$ holomorph mit

$ \mbox{$\displaystyle f_n'(z)\;=\; \int_{1/n}^1(\log t) t^{z-1}e^{-t}\;\text{d}t \;,\;\; g_n'(z)\;=\; \int_{1}^n(\log t) t^{z-1}e^{-t}\;\text{d}t\;. $}$
Daher ist auch die Summe der beiden Grenzfunktionen $ \mbox{$\Gamma = f+g$}$ holomorph auf $ \mbox{$G$}$ mit
$ \mbox{$\displaystyle \Gamma'(z)\;=\; \lim_{n \to \infty} (f_n'(z) +g_n'(z))\;=\;\int_0^\infty (\log t) t^{z-1}e^{-t}\;\text{d}t\;. $}$

Bemerkung: Wir haben sogar gezeigt, daß die Folge $ \mbox{$(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$}$ kompakt auf $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ konvergiert, d.h. die Funktion $ \mbox{$g(z)=\int_1^\infty t^{z-1}e^{-t}\;\text{d}t$}$ ist eine ganze Funktion.