Lösung.

Es sei $ \mbox{$z\in G$}$ fest gewählt. Wir wollen $ \mbox{$F'(z)=f(z)$}$ mit Hilfe der Definition nachweisen.

Es sei dazu $ \mbox{$R>0$}$ derart, daß $ \mbox{$B_R(z)\subseteq G$}$ . Es sei $ \mbox{$w\in B_R(z)$}$ , $ \mbox{$w\ne z$}$ . Es sei $ \mbox{$\delta$}$ eine Parametrisierung der Verbindungsstrecke $ \mbox{$[z,w]$}$ , d.h.

$ \mbox{$\displaystyle \delta:[0,1]\to G\;,\;\; \delta(t)\;=\; z+t(w-z)\;. $}$
Dann ist der zusammengesetzte Weg $ \mbox{$\gamma_z+\delta-\gamma_w$}$ ein geschlossener Weg in $ \mbox{$G$}$ , d.h. es gilt nach dem Cauchyschen Integralsatz
$ \mbox{$\displaystyle 0 \;=\; \int_{\gamma_z+\delta-\gamma_w} f \;=\; \int_{\gamma_z} f +\int_\delta f -\int_{\gamma_w}f\;. $}$

Skizze.

\includegraphics[width=8cm]{l2.eps}

Es folgt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} F(w)-F(z) &=& \displaystyle\int_{\ga... ...2mm}\\ &=& (w-z)\displaystyle\int_0^1 f(z+t(w-z))\,\text{d}t\;. \end{array}$}$
Daraus ergibt sich mit der Standardabschätzung
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left\vert\dfrac{F(w)-F(z)}{w-z}-f(z)... ...vert\; t\in[0,1]\right\}\vspace*{2mm}\\ &\to& 0 \;\;(w\to z)\;, \end{array}$}$
denn $ \mbox{$f$}$ ist stetig im Punkt $ \mbox{$z$}$ . Daraus folgt gemäß der Definition, daß
$ \mbox{$\displaystyle F'(z) \;=\; \lim_{w\to z}\dfrac{F(w)-F(z)}{w-z} \;=\; f(z)\;. $}$