Aufgabe.

Es seien $ \mbox{$G\subseteq\mathbb{C}$}$ ein Gebiet, $ \mbox{$z_0\in G$}$ und $ \mbox{$R>0$}$ derart, daß $ \mbox{$\overline{B_R(z_0)}\subseteq G$}$ . Es sei ferner $ \mbox{$f:G\to\mathbb{C}$}$ eine holomorphe Funktion. Zeigen Sie.

  1. $ \mbox{$f'(z)=\dfrac{1}{2\pi\text{i}} \displaystyle\int_{\partial B_R(z_0)}\dfrac{f(\xi)}{(\xi-z)^2}\,\text{d}\xi$}$ , für alle $ \mbox{$z\in B_R(z_0)$}$ .
  2. $ \mbox{$f'$}$ ist holomorph auf $ \mbox{$G$}$ .
  3. Es seien nun $ \mbox{$f$}$ eine ganze Funktion, $ \mbox{$0\le\alpha<1$}$ , $ \mbox{$c>0$}$ , $ \mbox{$R_0>0$}$ , und die Funktion $ \mbox{$f$}$ erfülle die Ungleichung $ \mbox{$\vert f(z)\vert\le c\vert z\vert^\alpha$}$ für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ mit $ \mbox{$\vert z\vert\ge R_0$}$ . Zeigen Sie, daß $ \mbox{$f$}$ konstant ist.