Cauchyscher Integralsatz und Integralformel.

Einfacher Zusammenhang.

Ein Gebiet $ \mbox{$G \subseteq \mathbb{C}$}$ heißt einfach zusammenhängend, falls sein Komplement $ \mbox{$\mathbb{C}_\infty \setminus G$}$ zusammenhängend ist.

Dafür ist es weder notwendig, noch hinreichend, daß $ \mbox{$\mathbb{C} \setminus G$}$ zusammenhängend ist. Die geforderte Eigenschaft kann dadurch charakterisiert werden, daß $ \mbox{$\mathbb{C} \setminus G$}$ sich als Vereinigung zusammenhängender unbeschränkter Mengen schreiben läßt.

Zum Beispiel ist die geschlitzte Ebene $ \mbox{$\mathbb{C}_-=\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\le 0}$}$ einfach zusammenhängend.

\includegraphics[width=8cm]{geschlitzt.eps}

Sternförmige Gebiete sind stets einfach zusammenhängend. Hingegen ist das Gebiet $ \mbox{$\mathbb{C} \setminus \{0\}$}$ nicht einfach zusammenhängend. Anschaulich bedeutet einfach zusammenhängend, daß das Gebiet $ \mbox{$G$}$ keine Löcher hat.

Cauchyscher Integralsatz.

Es seien $ \mbox{$G \subseteq \mathbb{C}$}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, $ \mbox{$f:G \to \mathbb{C}$}$ eine holomorphe Funktion und $ \mbox{$\gamma$}$ ein geschlossener Weg in $ \mbox{$G$}$ . Dann gilt der Cauchysche Integralsatz

$ \mbox{$\displaystyle \int_\gamma f\;=\;0\;. $}$

Gleichbedeutend damit ist die Tatsache, daß eine holomorphe Funktion auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet stets eine Stammfunktion besitzt.

Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben.

Es sei $ \mbox{$f:G \to \mathbb{C}$}$ holomorph und $ \mbox{$D=B_r(z_0)$}$ sei eine offene Kreisscheibe mit $ \mbox{$\overline{D}\subseteq G$}$ . ist. Es sei $ \mbox{$\partial D$}$ der positiv orientierte Rand von $ \mbox{$D$}$ , d.h. $ \mbox{$(\partial D)(t):= z_0 + re^{2\pi\text{i}t}$}$ für $ \mbox{$\ t \in [0,1]$}$ . Dann gilt für alle $ \mbox{$z \in D$}$ die Cauchysche Integralformel

$ \mbox{$\displaystyle f(z)\;=\; \frac{1}{2\pi\text{i}}\int_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z} \;\text{d}\xi\;. $}$