Lösung.

Wir wollen zeigen, daß sich $ \mbox{$\mathbb{C}\setminus G$}$ als Vereinigung zusammenhängender unbeschränkter Mengen schreiben läßt. Es sei etwa $ \mbox{$G$}$ sternförmig bezüglich $ \mbox{$z_0$}$ , und es sei $ \mbox{$z\in\mathbb{C}\setminus G$}$ .

Dann gilt

$ \mbox{$\displaystyle z \;\in\; U_z \;:=\; \{z+\lambda(z-z_0)\;\vert\; \lambda\ge 0\} \;\subseteq\; \mathbb{C}\setminus G\;. $}$

Skizze.

\includegraphics[width=8cm]{stern.eps}

Die Tatsache $ \mbox{$U_z\subseteq\mathbb{C}\setminus G$}$ folgt dabei aus der Sternförmigkeit von $ \mbox{$G$}$ . Wäre nämlich $ \mbox{$w\in U_z\cap G$}$ , etwa $ \mbox{$w=z+\lambda(z-z_0)$}$ für ein $ \mbox{$\lambda\ge 0$}$ , so wäre auch $ \mbox{$[z_0,w]\subseteq G$}$ , im Widerspruch zu $ \mbox{$z\notin G$}$ .

Also haben wir $ \mbox{$\mathbb{C}\setminus G$}$ als Vereinigung zusammenhängender unbeschränkter Mengen

$ \mbox{$\displaystyle \mathbb{C}\setminus G \;=\; \bigcup_{z\in\mathbb{C}\setminus G} U_z $}$
geschrieben. Somit ist $ \mbox{$G$}$ einfach zusammenhängend.