Lösung.

  1. Die Funktion $ \mbox{$f(z):= \frac{z^7+1}{z^2(z^4-1)}$}$ ist holomorph auf $ \mbox{$B_{3/2}(3)$}$ , denn die Nullstellen des Nenners liegen außerhalb von $ \mbox{$B_{3/2}(3)$}$ . Mit dem Cauchyschen Integralsatz folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{\partial B_1(3)} \frac{z^7+1}{z^2(z^4-1)} \,\textrm{d} z \;=\; 0\;. $}$
  2. Mit Partialbruchzerlegung ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{z^7+1}{z^2(z^4-1)} \;=\; z + \frac{1/2}{z-1}-\frac{1}{z^2}+\frac{-z/2+1/2}{z^2+1}\;. $}$
    Wendet man den Cauchyschen Integralsatz auf das Gebiet $ \mbox{$B_{7/4}(2)$}$ an, so ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{\partial B_{3/2}(2)} \left(z-\frac{1}{z^2}+\frac{-z/2+1/2}{z^2+1}\right)\,\text{d}z \;=\; 0\;, $}$
    denn die betrachtete Funktion ist auf $ \mbox{$B_{7/4}(2)$}$ holomorph. Mit der Cauchyschen Integralformel wird
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{\partial B_{3/2}(2)} \frac{1/2}{z-1}\,\text{d} z \;=\; 2 \pi \textrm{i}\cdot \frac{1}{2} \;=\; \pi \text{i}\;. $}$
    Insgesamt ergibt sich also
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{\partial B_{3/2}(2)} \frac{z^7+1}{z^2(z^4-1)} \,\textrm{d} z \;=\; \pi \textrm{i}\;. $}$