Lösung.

  1. Die Cauchysche Integralformel besagt, daß
    $ \mbox{$\displaystyle f(z) \;=\; \frac{1}{2\pi\text{i}}\int_{\partial B_R(z_0)} \frac{1}{\xi-z}\,\text{d}\xi $}$
    gilt für alle $ \mbox{$z\in B_R(z_0)$}$ . Nun ist der Integrand
    $ \mbox{$\displaystyle g(z,\xi) \;:=\; \frac{1}{\xi-z} $}$
    als Funktion zweier Veränderlicher stetig auf $ \mbox{$B_R(z_0)\times \partial B_R(z_0)$}$ und holomorph als Funktion von $ \mbox{$z$}$ mit
    $ \mbox{$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial z}(z,\xi) \;=\; \frac{1}{(\xi-z)^2}\;. $}$
    Damit ist auch $ \mbox{$\frac{\partial g}{\partial z}$}$ als Funktion zweier Veränderlicher stetig auf $ \mbox{$B_R(z_0)\times \partial B_R(z_0)$}$ . Also sind die Voraussetzungen des Satzes über die Holomorphie von Parameterintegralen erfüllt, und es folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f'(z) &=& \dfrac{\partial}{\partial ... ...style\int_{\partial B_R(z_0)}\dfrac{1}{(\xi-z)^2}\,\text{d}\xi\;. \end{array}$}$

  2. Dieselbe Argumentation kann nun auf den Integranden $ \mbox{$\frac{1}{(\xi-z)^2}$}$ in der obigen Gleichung angewandt werden. Dieser ist stetig als Funktion zweier Veränderlicher auf $ \mbox{$B_R(z_0)\times \partial B_R(z_0)$}$ und holomorph als Funktiobn von $ \mbox{$z$}$ , und seine Ableitung nach $ \mbox{$z$}$ ist $ \mbox{$\frac{2}{(\xi-z)^3}$}$ , also ebenfalls stetig auf $ \mbox{$B_R(z_0)\times \partial B_R(z_0)$}$ . Nach dem Satz über die Holomorphie von Parameterintegralen und der Gleichung aus 1. folgt, daß $ \mbox{$f'$}$ holomorph auf $ \mbox{$B_R(z_0)$}$ ist. Da $ \mbox{$z_0\in G$}$ beliebig gewählt werden kann, ist $ \mbox{$f'$}$ sogar holomorph auf $ \mbox{$G$}$ .

  3. Es sei $ \mbox{$R\ge R_0$}$ . Wendet man die Standardabschätzung auf das Integral in 1. an, so ergibt sich mit $ \mbox{$\vert\xi-z\vert\ge \vert\xi-z_0\vert-\vert z-z_0\vert =R-\vert z-z_0\vert$}$ , daß
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \vert f'(z)\vert &=& \left\vert\dfrac... ...& \dfrac{cR (R+\vert z_0\vert)^\alpha}{(R-\vert z-z_0\vert)^2}\;. \end{array}$}$
    In dieser Formel kann nun $ \mbox{$R$}$ beliebig groß gewählt werden. Also folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f'(z)\vert \;\le\; \lim_{R\to\infty} \dfrac{cR (R+\vert z_0\vert)^\alpha}{(R-\vert z-z_0\vert)^2} \;=\; 0\;. $}$
    Daraus folgt $ \mbox{$f'(z)=0$}$ für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ . Daher ist $ \mbox{$f$}$ konstant auf $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ .