Lösung.

Ein Logarithmus $ \mbox{$g$}$ von $ \mbox{$f$}$ würde die Gleichung

$ \mbox{$\displaystyle g'(z) \;=\; \frac{f'(z)}{f(z)} \;=\; \frac{1}{z} $}$
für alle $ \mbox{$z\in G$}$ erfüllen, d.h. die Funktion $ \mbox{$\frac{1}{z}$}$ hätte eine Stammfunktion auf $ \mbox{$G$}$ . Insbesondere wäre $ \mbox{$\int_\gamma \frac{1}{z}\,\text{d}z=0$}$ für alle geschlossenen Wege in $ \mbox{$G$}$ . Dies widerspricht aber der Identität
$ \mbox{$\displaystyle \int_{\partial B_1(0)}\frac{1}{z}\,\text{d} z \;=\; 2\pi\text{i}\;. $}$
Daher gibt es keinen Logarithmus von $ \mbox{$f$}$ auf $ \mbox{$G$}$ .