Lösung.

  1. Wir setzen
    $ \mbox{$\displaystyle g(z) \;:=\; n\cdot\text{Log }z\;. $}$
    Dann ist $ \mbox{$g$}$ holomorph auf $ \mbox{$G$}$ , und es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle e^{g(z)} \;=\; e^{n\cdot\text{Log }z} \;=\; z^n $}$
    für alle $ \mbox{$z\in G$}$ . Folglich ist $ \mbox{$\log f=g$}$ ein Logarithmus von $ \mbox{$f$}$ . Offenbar gilt
    $ \mbox{$\displaystyle g(z) \;=\; \text{Log}(z^n) $}$
    für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{R}_{>0}$}$ , d.h. $ \mbox{$\log f$}$ stimmt auf $ \mbox{$\mathbb{R}_{>0}$}$ mit $ \mbox{${\operatorname{Log}}\circ f$}$ überein.

  2. Für $ \mbox{$n\ge 2$}$ gilt
    $ \mbox{$\displaystyle (\log f)(-\text{i}) \;=\; n\cdot\text{Log}(-\text{i}) \;=\; n\cdot \dfrac{-\text{i}\pi}{2} \;\ne\; \text{Log}((-\text{i})^n)\;, $}$
    denn es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \text{Log}((-\text{i})^n) \;\in\; \left\{0,\pm\frac{\text{i}\pi}{2},\text{i}\pi\right\}\;. $}$