Lösung.

  1. Es sei $ \mbox{$f(z):=e^{-z}$}$ . Nach der Cauchyschen Integralformel für die $ \mbox{$n$}$ -te Ableitung mit $ \mbox{$n=2$}$ ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{\partial B_3(0)} \frac{e^{-z}}{(z+2)^3}\,\text{d}z \;=\; \frac{2\pi\text{i}}{2!} \cdot f^{(2)}(-2) \;=\; e^{-2}\pi\text{i}\;. $}$
  2. Es sei $ \mbox{$f(z):=z^n$}$ . Nach der Cauchyschen Integralformel für die $ \mbox{$(n-1)$}$ -te Ableitung ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{\partial B_1(1)} \frac{z^n}{(z-1)^n} \,\text{d}z \;=\; \frac{2\pi\text{i}}{(n-1)!} \cdot f^{(n-1)}(1) \;=\; 2\pi\text{i}n\;. $}$
  3. Es sei $ \mbox{$f(z):=\cos\frac{\pi}{z+1}$}$ . Dann ist $ \mbox{$f$}$ holomorph auf $ \mbox{$B_{3/4}(0)$}$ , und es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f^{(2)}(z) &=& \left(\left(\sin\dfra... ...-2\left(\sin\dfrac{\pi}{z+1}\right)\cdot\dfrac{\pi}{(z+1)^3}\;. \end{array} $}$
    Nach der Cauchyschen Integralformel für die $ \mbox{$n$}$ -te Ableitung mit $ \mbox{$n=2$}$ ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \int_{\partial B_{1/2}(0)} \left(\cos\frac{\pi}{z+1}\rig... ...ext{d}z \;=\; \frac{2\pi\text{i}}{2!}\cdot f^{(2)}(0) \;=\; \pi^3\text{i}\;. $}$

  4. Es sei $ \mbox{$f(z):=(z-b)^{-n}$}$ . Dann ist $ \mbox{$f$}$ holomorph auf $ \mbox{$B_{\vert b\vert}(0)$}$ , und es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle f^{(m-1)}(z) \;=\; (-1)^{m-1}\cdot\frac{(m+n-2)!}{(n-1)!}\cdot(z-b)^{-m-n+1}\;. $}$
    Nach der Cauchyschen Integralformel für die $ \mbox{$(m-1)$}$ -te Ableitung ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{\partial B_r(0)} (... ...-1}2\pi\text{i} \displaystyle{m+n-2\choose n-1} (a-b)^{-m-n+1}\;. \end{array}$}$