Lösung.

Es sei $ \mbox{$g:G\to\mathbb{C}$}$ definiert durch

$ \mbox{$\displaystyle g(z) \;:=\; \begin{cases}(z-z_0)^2 f(z),& \text{falls}\;\;z\ne z_0\\ 0 ,& \text{falls}\;\;z=z_0\;. \end{cases}$}$
Dann ist $ \mbox{$g$}$ holomorph auf $ \mbox{$G\setminus\{z_0\}$}$ . Andererseits gilt
$ \mbox{$\displaystyle \lim_{z\to z_0}\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0} \;=\; \lim_{z\to z_0} \frac{(z_z_0)^2f(z)}{z_z_0} \;=\; \lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z) \;=\; 0\;. $}$
Daher ist $ \mbox{$g$}$ auch differenzierbar im Punkt $ \mbox{$z_0$}$ mit
$ \mbox{$\displaystyle g'(z_0) \;=\; 0\;. $}$
Also besitzt $ \mbox{$g$}$ eine Potenzreihenentwicklung der Form
$ \mbox{$\displaystyle g(z) \;=\; \sum_{n=2}^\infty a_n(z-z_0)^n $}$
für alle $ \mbox{$z\in B_r(z_0)$}$ , für ein $ \mbox{$r>0$}$ . Daraus folgt
$ \mbox{$\displaystyle f(z) \;=\; \sum_{n=2}^\infty a_n(z-z_0)^{n-2} \;=\; \sum_{n=0}^\infty a_{n+2}(z-z_0)^n $}$
für alle $ \mbox{$z\in B_r(z_0)\setminus\{z_0\}$}$ , und diese Potenzreihendarstellung zeigt, daß $ \mbox{$f$}$ holomorph auf ganz $ \mbox{$G$}$ fortgesetzt werden kann, indem man
$ \mbox{$\displaystyle f(z_0) \;:=\; a_2 \;=\; 2g''(z_0) $}$
setzt.