Aufgabe.

Es seien $ \mbox{$f:G\to\mathbb{C}$}$ holomorph, $ \mbox{$z_0\in G$}$ , $ \mbox{$R>0$}$ derart, daß $ \mbox{$\overline{B_R(z_0)}\subseteq G$}$ . Es sei $ \mbox{$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$}$ die Potenzreihenentwicklung von $ \mbox{$f$}$ um $ \mbox{$z_0$}$ . Zeige.

  1. $ \mbox{$\vert a_n\vert\le \dfrac{M}{R^n}$}$ , wobei $ \mbox{$M:=\sup\left\{\vert f(z)\vert\;\vert\; \vert z-z_0\vert\le R\}$}$ . (Cauchysche Koeffizientenabschätzung)
  2. Es sei nun $ \mbox{$G=\mathbb{C}$}$ , und $ \mbox{$f$}$ erfülle die Ungleichung
    $ \mbox{$\displaystyle \vert f(z)\vert\;\le\; c\vert z\vert^\alpha $}$
    für alle $ \mbox{$z$}$ mit $ \mbox{$\vert z\vert\ge R_0$}$ , wobei $ \mbox{$c>0$}$ und $ \mbox{$\alpha\ge 0$}$ . Zeige, daß $ \mbox{$f$}$ ein Polynom vom Grade $ \mbox{$\le\lfloor\alpha\rfloor$}$ ist.

Bemerkung: Der 2. Teil dieser Aufgabe ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Liouville.