Lösung.

Es sei also $ \mbox{$f:G\to\mathbb{C}$}$ holomorph, und es sei $ \mbox{$r>0$}$ derart, daß $ \mbox{$\overline{B_r(z_0)}\subseteq G$}$ . Dann folgt mit der Cauchyschen Integralformel für $ \mbox{$\vert z-z_0\vert<r$}$ und der geometrischen Reihe, daß

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f(z) &=& \dfrac{1}{2\pi\text{i}}\dis... ..._0)^n\vspace*{2mm}\\ &=& \displaystyle\sum_{n=0}a_n(z-z_0)^n\;, \end{array}$}$
wobei
$ \mbox{$\displaystyle a_n \;:=\; \frac{1}{2\pi\text{i}}\int_{\partial B_r(z_0)}\dfrac{1}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\text{d}\xi\;. $}$
Die geometrische Reihe konvergiert gleichmäßig für $ \mbox{$\xi\in\partial B_r(z_0)$}$ wegen
$ \mbox{$\displaystyle \left\vert\dfrac{z-z_0}{\xi-z_0}\right\vert \;=\; \dfrac{\vert z-z_0\vert}{r} \;<\; 1\;. $}$
Daher ist auch die Vertauschung von Reihe und Kurvenintegral gerechtfertigt.