Lösung.

Es sei $ \mbox{$p(z):= \sum_{k=0}^n a_k z^k$}$ ein Polynom vom Grade $ \mbox{$n \geq 1$}$ ohne Nullstellen in $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ , und es sei $ \mbox{$f(z):= \frac{1}{p(z)}$}$ .

Es gilt

$ \mbox{$\displaystyle \vert p(z)\vert \;=\; \vert a_n\vert \vert z\vert^n \left\vert\sum_{k=0}^n \dfrac{a_k}{a_n}\,z^{k-n}\right\vert\;, $}$
und
$ \mbox{$\displaystyle \left\vert\sum_{k=0}^n \dfrac{a_k}{a_n}\,z^{k-n}\right\vert \;\longrightarrow\; 1\;,\;\;\;\text{f\uml ur}\;\; z\to\infty\;. $}$
Also gibt es ein $ \mbox{$r>0$}$ derart, daß
$ \mbox{$\displaystyle \left\vert\sum_{k=0}^n \dfrac{a_k}{a_n}\,z^{k-n}\right\vert \;\ge\; \frac{1}{2}\;,\;\;\;\text{f\uml ur}\;\;\vert z\vert\ge r\;. $}$
Daraus folgt
$ \mbox{$\displaystyle \vert p(z)\vert\;\ge\; \frac{1}{2}\, \vert a_n\vert \ve... ...\,\vert a_n\vert r^n\;, \;\;\; \text{f\uml ur}\;\; \vert z\vert\;\ge\; r\;, $}$
und damit
$ \mbox{$\displaystyle \vert f(z)\vert\;=\;\frac{1}{\vert p(z)\vert}\;\leq\; \... ...{\vert a_n\vert r^n} \;,\;\;\; \text{f\uml ur}\;\; \vert z\vert\;\ge\; r\;. $}$
Da $ \mbox{$p$}$ keine Nullstelle hat, ist $ \mbox{$f$}$ eine ganze Funktion. Wegen der Stetigkeit von $ \mbox{$f$}$ gibt es ein $ \mbox{$c>0$}$ derart, daß
$ \mbox{$\displaystyle \vert f(z)\vert\;\leq\; c \;\;\;\; \text{f\uml ur}\;\; \vert z\vert\;\le\; r\;. $}$
Also ist $ \mbox{$f$}$ eine ganze beschränkte Funktion. Nach dem Satz von Liouville folgt, daß $ \mbox{$f$}$ und damit auch $ \mbox{$p=\frac{1}{f}$}$ konstant ist.

Da $ \mbox{$p$}$ ein Polynom vom Grade $ \mbox{$n\ge 1$}$ ist, ist dies ein Widerspruch.