Repetitorium Funktionentheorie

Beispiel.

Es sei $\mbox{$G\subseteq\mathbb{C}$}$ ein Gebiet mit

$\mbox{$G\cap \mathbb{R}\ne \emptyset$}$
$\mbox{$G=\{\overline{z}\;\vert\; z\in G\}$}$ ,

d.h. $\mbox{$G$}$ sei symmetrisch bezüglich der reellen Achse und schneidet diese. Es sei $\mbox{$f:G\to\mathbb{C}$}$ holomorph. Zeige, daß folgende Aussagen äquivalent sind.

(i): $\mbox{$f(G\cap\mathbb{R})\subseteq\mathbb{R}$}$ .
(ii): $\mbox{$f(\overline{z})=\overline{f(z)}$}$ für alle $\mbox{$z\in G$}$ .