Lösung.

(i) $ \mbox{$\implies$}$ (ii):
Wir definieren $ \mbox{$g:G\to\mathbb{C}$}$ durch
$ \mbox{$\displaystyle g(z) \;:=\; \overline{f(\overline{z})}\;. $}$
Aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen folgt die Holomorphie von $ \mbox{$g$}$ , denn setzt man $ \mbox{$u:=\text{Re }f$}$ und $ \mbox{$v:=\text{Im }f$}$ , so folgt
$ \mbox{$\displaystyle g(x+\text{i}y) \;=\; u(x,-y)+\text{i}(-v(x,-y)) $}$
und
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcrcl} (\text{Re }g)_x &=& u_x \;=\; v_y &... ...m}\\ (\text{Re }g)_y &=& -u_y \;=\; v_x &=& -(\text{Im }g)_x\;. \end{array}$}$
Ferner gilt für alle $ \mbox{$z\in G\cap\mathbb{R}$}$ stets $ \mbox{$f(z)\in\mathbb{R}$}$ und daher
$ \mbox{$\displaystyle g(z)\;=\; \overline{f(\overline{z})} \;=\; \overline{f(z)} \;=\; f(z)\;. $}$
Da die Menge $ \mbox{$G\cap\mathbb{R}$}$ einen Häufungspunkt in $ \mbox{$G$}$ besitzt, folgt nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen, daß
$ \mbox{$\displaystyle f(z)\;=\;g(z) $}$
für alle $ \mbox{$z\in G$}$ . Daraus folgt die Behauptung.

(ii) $ \mbox{$\implies$}$ (i):
Für alle $ \mbox{$z\in G\cap\mathbb{R}$}$ gilt
$ \mbox{$\displaystyle f(z) \;=\; f(\overline{z}) \;=\; \overline{f(z)}\;, $}$
und daraus folgt $ \mbox{$f(z)\in\mathbb{R}$}$ .